Utilizando la variable spearation para solucionar una oda linear de primer orden

Question

Supongamos que queremos resolver la ODA:

$$f'(x) + 2f(x) = 3$$

Quiero utilizar la variable de separación, por lo que obtengo:

$$ f'(x) = 3 - 2f(x)$$

Ahora quiero dividir por $3-2f(x)$ pero no estoy seguro de lo que debo asumir, en $f$ con el fin de hacer eso. Que es, hace que la expresión tiene que ser distinto de cero para todo x, o sólo para un cierto x? Después de ese punto no sabe qué hacer, pero no entiendo a qué se supone que debo hacer aquí.

gracias

Answer 1

La función constante <span class="math-container">$f(x)=\frac32$</span> es una solución. Todas las demás soluciones deben satisfacer <span class="math-container">$f(x) \neq \frac32$</span> <span class="math-container">$x$</span> de todas ya que las curvas de solución no pueden cruzar (por el teorema de unicidad), por lo que reciben por <span class="math-container">$f'(x)/(3-2 f(x))=1$</span> y en el (procedimiento habitual).

Answer 2

Otro enfoque es el uso de un factor de integración. Es decir, queremos encontrar una $g(x)$ , de modo que $$ \begin{align} (f(x)g(x))' &=g(x)f'(x)+g'(x)f(x)\\ &=g(x)(f'(x)+2f(x))\\ &=3g(x) \end{align} $$ que pasa cuando el $g'(x)=2g(x)$. Esto se puede resolver con $g(x)=e^{2x}$. Entonces $$ \left(e^{2x}f(x)\right)'=3e^{2x} $$ que es mucho más fácil de resolver.

Answer 3

Si quieres resolver el ODE, usted 've primero en resolver el homogenueos ecuación, es decir, $f'(x) + 2f(x) = 0$ y, a continuación, fing el particular integral. Puede reorganizar fácilmente las homogénea de la ecuación como: \begin{equation} \frac{f'(x)}{f(x)}=-2 \end{equation} Así que \begin{equation} \frac{df}{f}=-2 dx \end{equation} Cuando la integración se consigue $f(x)=c e^{-2 x}$, donde c es la constante de integración. Su integral es una simple constante, ya que el lado derecho de la ecuación diferencial es una constante. La solución es $f(x)=c e^{-2 x}+ 3/2$

Answer 4

Si desea utilizar el método de separación de variables, creo que usted necesita para resolver la ecuación homogénea de encontrar una solución particular.

$$E: f'(x)+2f(x)=3 $$ A continuación, $$ E_h: f_h'(x)+2f_h(x)=0$$ para $f\neq 0$, tenemos, $$\frac{df_h}{f_h}=-2dx $$ por integración se tiene, $$ \ln(|f_h(x)|)=-2x+C,\quad C\in \mathbb{R}$$ Lo que da,$$ f_h(x)=Ke^{-2x},\quad K=e^C$$ sabemos que podemos encontrar una solución particular $f_p(x)$ mediante la variación de la constante de método. y, finalmente, la solución general $f=f_h+f_p$