$n$ tiene suma dígitos 100; $2n$ tiene suma dígitos 110

Question

Mi pregunta es:

Un $n$-dígitos de número cuya suma de dígitos es $100$, el número se duplicó da la suma de dígitos como $110$ entonces, ¿qué es esto $n$-número de dígitos?

Mi planteamiento:

Supuse $n$-dígitos a ser $x_{1},x_{2},\cdots x_{n}$ e $n$-dígitos después de doblar el número original para ser $y_{1},y_{2},\cdots y_{n}$, de manera que la ecuación viene a ser,

$$\sum_{i=1}^{n}x_{i}=100$$ Y otra ecuación,

$$\sum_{i=1}^{n}y_{i}=110$$

Yo no soy capaz de proceder más después de esto.

Answer 1

El número de $999999999922222$ satisface las condiciones requeridas.

Llegué a este número señalando que:

1. Si se multiplica cualquier múltiplo de $9$ por $2$, la suma de los dígitos sigue siendo el mismo.

2. Si se multiplica cualquier número que contiene todos los dígitos menos de $5$ por $2$, entonces la suma de los dígitos dobles.

Por lo tanto, en el número anterior, por duplicado, la suma de los dígitos de la primera parte que contiene la $10$ $9$'s sigue siendo el mismo, y la segunda parte, que contiene únicamente las $2$s, ve su suma de los dígitos se duplicó. De modo que la nueva suma de dígitos se $110$.

Answer 2

Para cualquier $n$-dígito entero $a$, vamos $[a_{n-1} a_{n-2} \cdots a_1 a_0 ]$ ser su representación decimal. es decir, una lista ordenada de números de $a_{n-1}, \ldots, a_0$ de $\{ 0, \ldots, 9 \}$ tales que $$a = \sum_{k=0}^{n-1} a_k \times 10^k$$ Deje $X(a) \stackrel{def}{=} \sum\limits_{k=0}^{n-1} a_k$ ser su suma de dígitos.

Cuando se suman dos números de $a = [a_{n-1} \cdots a_0 ]$, $b = [b_{n-1} \cdots b_0 ]$, los dígitos de la suma de sus partes $d = [d_n d_{n-1} \cdots d_0 ]$ puede ser determinado mediante el siguiente algoritmo.

1. init llevar a $c$ a $0$ y el índice de $k$ a $0$.
2. calcular $v = a_k + b_k + c$. si $v \ge 0$, establezca $d_k$ a $v - 10$ e $c$ a $1$ lo contrario, establezca $d_k$ a $v$ e $c$ a $0$.
3. aumentar el $k$ por $1$. Si $k < n$ repita el paso 2. de lo contrario, set $d_{n}$ llevar $c$.

Como se puede ver, cada vez que un acarreo se activa en el paso 2. la suma de los dígitos para $d$ será disminuido por $9$. A partir de esto, podemos deducir

$$X(a) + X(b) - X(a+b) = 9 \times \text{ number of carries triggered in step 2 }$$

Cuando $a = b$, es fácil ver un acarreo se activa cuando y sólo cuando $a_k = b_k$ es un dígito $\ge 5$. Esto implica

$$2X(a) - X(2a) = 9 \times \text{ number of } a_k \ge 5$$

Para el $n$-dígito entero, vamos a llamarlo $m$, hemos conocido a$X(m) = 100$ e $X(2m) = 110$. Esto implica que contiene $\frac{2\cdot 100 - 110}{9} = 10$ dígitos $\ge 5$. Si queremos $m$ a ser tan pequeño como sea posible, vamos a hacer todos estos $10$ dígitos a ser $9$ y empujarlos a la ranura de $a_0,\ldots,a_9$. La cuenta de $90$ de $100$ en la suma de $X(m)$. Nos quedamos con los dígitos $\le 4$ a cubrir. El más pequeño posible elección está empujando $2,4,4$ a $a_{12},a_{11},a_{10}$.

En resumen, el $13$-dígitos de número de $$m = 2,449,999,999,999$$ es una solución (de hecho el más pequeño de la solución del problema.

Answer 3

Se hará un número con 10 5 años seguido de cincuenta los. Obviamente se trata de un pequeño número como algunos ya han dado, pero pensado en publicar como una solución simple. En realidad cualquier disposición de éstos también debería funcionar y usted puede lanzar en cualquier cantidad de ceros también.

Answer 4

Es fácil ver que la $30$-número de dígitos

$$145{,}145{,}145{,}145{,}145{,}145{,}145{,}145{,}145{,}145$$

dispone de suma de dígitos $100$, mientras que su doble,

$$290{,}290{,}290{,}290{,}290{,}290{,}290{,}290{,}290{,}290$$

dispone de suma de dígitos $110$.

Añadido posterior: el seguimiento de los Cristianos Blatter la respuesta, vamos a $N$ ser cualquier número, deje que la suma de dígitos se $S(N)$, y deje $m$ el número de dígitos en $N$ que son mayores que o igual a $5$. Deje $N'$ ser el número en el que cada uno de los $m$ dígitos es disminuido por $5$ (de modo que cada uno de los dígitos de $N'$ entre $0$ e $4$. Entonces claramente $S(N)=S(N')+5m$. Pero también tenemos $S(2N)=2S(N')+m$, dado que podemos obtener los $2N$ mediante la adición de la $m$ llevado $1$'s para el adecuado dígitos de $2N'$, ninguno de los cuales es mayor que $8$ (de modo que no hay que conlleva). De ello se sigue que

$$2S(N)-S(2N)=9m$$

Así que si $S(N)=100$ e $m=10$, tenemos $S(2N)=2S(N)-9m=2\cdot100-9\cdot10=110$, y si $S(N)=100$ e $S(2N)=110$, tenemos

$$m={2S(N)-S(2N)\over9}={2\cdot100-110\over9}=10$$

Answer 5

Un método general para lidiar con este problema es como sigue. Deje $ r $ ser el número cuyas $ n $ dígitos $d_{n-1},\ldots, d_3,d_2,d_1,d_0\in\{9,8,7,6,5,4,3,2,1,0\}$. Entonces $$ r= d_{n-1}\cdot 10^{n-1}+d_{n-2}\cdot 10^{n-2}+\ldots+d_1\cdot 10^1+d_0\cdot 10^0=\sum_{k=0}^{n-1}d_k\cdot 10^k $$ Set $I_i=\{k_i\in \mathbb{N}:0\leq k_i\leq n-1, d_{k_i}=i\}$. Deje $m_i=|I_i|$. Entonces \begin{align} r=& 1 \cdot \sum_{k_1\in I_1}10^{k_i} + 2 \cdot \sum_{k_2\in I_2}10^{k_2} + 3 \cdot \sum_{k_3\in I_3}10^{k_3} + 4 \cdot \sum_{k_4\in I_4}10^{k_4} \\ &+5 \cdot \sum_{k_5\in I_5}10^{k_5} + 6 \cdot \sum_{k_6\in I_6}10^{k_6} + 7 \sum_{k_7\in I_7}10^{k_7} \\ &+ 8\cdot \sum_{k_8\in I_8}10^{k_8} +9\cdot \sum_{k_9\in I_9}10^{k_9} \end{align} y $$ 1\cdot m_1+2\cdot m_2+3\cdot m_3+4\cdot m_4+5\cdot m_5+6\cdot m_6+7\cdot m_7+8\cdot m_8+9\cdot m_9=100 \\ m_0+m_1+m_2+m_3+m_4+m_5+m_6+m_7+m_8+m_9=n $$ Multiplicando el número de $ r $ por $ 2 $ hemos \begin{align} 2r=& 2 \cdot \sum_{k_1\in I_1}10^{k_i} \\ +& 4 \cdot \sum_{k_2\in I_2}10^{k_2} \\ +& 6 \cdot \sum_{k_3\in I_3}10^{k_3} \\ +& 8 \cdot \sum_{k_4\in I_4}10^{k_4} \\ +& 10 \cdot \sum_{k_5\in I_5}10^{k_5}\quad \left(= 1\cdot \sum_{k_5\in I_5}10^{k_5+1}\right) \\ +& 12 \cdot \sum_{k_6\in I_6}10^{k_6}\quad \left(= 2\cdot\sum_{k_6\in I_6}10^{k_6}+ 1\cdot \sum_{k_6\in I_6}10^{k_6+1} \right) \\ +& 14 \cdot \sum_{k_7\in I_7}10^{k_7}\quad \left(= 4\cdot\sum_{k_7\in I_7}10^{k_7}+ 1\cdot \sum_{k_7\in I_7}10^{k_7+1} \right) \\ +& 16 \cdot \sum_{k_8\in I_8}10^{k_8}\quad \left( = 6\cdot\sum_{k_8\in I_8}10^{k_8}+ 1\cdot \sum_{k_8\in I_8}10^{k_8+1}\right) \\ +& 18 \cdot \sum_{k_9\in I_9}10^{k_9}\quad \left(= 8\cdot\sum_{k_9\in I_9}10^{k_9}+1\cdot \sum_{k_9\in I_9}10^{k_9+1}\right) \end{align} Esto implica $$ 1\cdot (m_5+m_6+m_7+m_8+m_9)+2\cdot ( m_1+m_6)+4\cdot ( m_2+m_7)+6\cdot (m_3+m_8)+8\cdot (m_4+m_9)=110 $$ Así que las soluciones del problema son soluciones del sistema lineal \begin{align} 2\cdot m_1+4\cdot m_2+6\cdot m_3+8\cdot m_4+1\cdot m_5+3\cdot m_6+5\cdot m_7+7 \cdot m_8+9\cdot m_9=&110 \\ 1\cdot m_1+2\cdot m_2+3\cdot m_3+4\cdot m_4+5\cdot m_5+6\cdot m_6+7\cdot m_7+8\cdot m_8+9\cdot m_9=&100 \\ 1\cdot m_0+1\cdot m_1+1\cdot m_2+1\cdot m_3+1\cdot m_4+1\cdot m_5+1\cdot m_6+1\cdot m_7+1\cdot m_8+1\cdot m_9=&n \end{align}