Contraejemplo para el tamaño del campo automorphism grupo

Question

Estoy buscando un contraejemplo de la siguiente (falso) declaración:

Si $ K \subset M \subset L $ con $ [ L : K ] < \infty $ e $ |\text{Aut} (L / K)| = 1 $, a continuación, $ |\text{Aut} (M / K)| = 1 $.

Básicamente buscando un finito algebraica de extensión de campo $ M / K $ con trivial $ K $-automorfismos que no puede ser extendida a $K$-automorfismos de a$L$.

Answer 1

El Galois cierre de $L$ tiene que ser un poco complicado en orden para contraejemplo a ocurrir. Deje $G$ ser el subgrupo de $S_6$ generado por $$\begin{pmatrix}1 & 2 &5 &4 &3 &6 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix}1 &5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 &6 \end{pmatrix}$$ se ha pedido a$36$. Estabilizador de $1$ está dado por $$H = \{1, (35)(46), (246), (24)(35), (264), (26)(35)\}$$ Tenga en cuenta que $G$ contiene permutación impar, por lo $G\cap A_6 \lhd G$.

Ahora vamos a $f \in K[x]$ ser un grado $6$ separables polinomio tal que su grupo de Galois es $G$, $E$ ser la división de campo de la $f$. Deje $L = E^H$, desde el $H$ es el stablizer de un punto, podemos suponer $L = K(\alpha)$, donde es $\alpha$ a raíz de la $f$. Denotar $M = E^{G\cap A_6}$, a continuación, $M\subset L$ e $[M:K]=|\text{Aut}(M/K)| = 2$. A continuación nos reclamación $|\text{Aut}(L/K)|=1$, es suficiente para mostrar $L$ no contiene otras raíces de $f$ excepto $\alpha$, esto es verdad mirando a los elementos de $H$: cada uno de los índices de $2,3,4,5,6$ son movidos por $H$.

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Un ejemplo concreto: supongamos $\alpha$ ser una raíz de $x^6-x^3+2 = 0$, $$L = \mathbb{Q}(\alpha) \qquad M=\mathbb{Q}(\sqrt{-7}) \qquad K=\mathbb{Q}$$ The Galois group of this polynomial is easily seen to be $G$ above. Of course, a direct proof of $|\text{Aut}(L/K)| = 1$ no es también difícil por escrito las raíces de forma explícita.