¿Enfoques alternativos? La integral es una función hipergeométrica, e inmediatamente intentaría conseguirla porque así siempre podría usar algunas identidades para simplificar si fuera necesario.
Utilicemos la sustitución $x^4=v$ que la OP rechazó.
$$\int_0^1 (1-x^4)^{3/4}(1+x^4)^{-2} dx=\frac{1}{4} \int_0^1 v^{-3/4} (1-v)^{3/4}(1+v)^{-2} dv$$
Conocemos la integral general de la función hipergeométrica:
$$\mathrm {B} (b,c-b)\,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\int _{0}^{1}x^{b-1}(1-x)^{c-b-1}(1-zx)^{-a}\,dx\qquad \Re (c)>\Re (b)>0$$
En este caso $a=2$ , $b=1/4$ , $c=2$ así que tenemos:
$$\int_0^1 (1-x^4)^{3/4}(1+x^4)^{-2} dx=\frac{1}{4} \mathrm {B} \left(\frac14 , \frac74 \right) {_2 F_1} \left(2,\frac14; 2;-1 \right)$$
Utilizando algunas simplificaciones:
$$\frac{1}{4}\mathrm {B} \left(\frac14 , \frac74 \right)=\frac{1}{4}\Gamma \left( \frac14 \right) \Gamma \left(\frac74 \right)=\Gamma \left(\frac54 \right)\Gamma \left(\frac74 \right)$$
$${_2 F_1} \left(2,\frac14; 2;-1 \right)={_1 F_0} \left(\frac14; ;-1 \right)=(1-(-1))^{-1/4}=\frac{1}{2^{1/4}}$$
(Se sabe que ${_1 F_0} \left(a; ;x \right)=(1-x)^{-a}$ ).
Así que tenemos:
$$\int_0^1 (1-x^4)^{3/4}(1+x^4)^{-2} dx=\frac{1}{2^{1/4}}\Gamma \left(\frac54 \right)\Gamma \left(\frac74 \right)$$
Que es lo mismo que el resultado del OP, pero obtenido de una manera más sencilla, utilizando las propiedades conocidas de las funciones hipergeométricas.
Esto se puede simplificar aún más utilizando la fórmula de reflexión de la función Gamma (gracias a @Szeto por recordármelo):
$$\int_0^1 (1-x^4)^{3/4}(1+x^4)^{-2} dx=\frac{3}{16 \cdot 2^{1/4}}\Gamma \left(\frac14 \right)\Gamma \left(\frac34 \right)$$
$$\int_0^1 (1-x^4)^{3/4}(1+x^4)^{-2} dx=\frac{3\pi}{16 \cdot 2^{1/4} \sin \frac{\pi}{4}}$$
$$\int_0^1 (1-x^4)^{3/4}(1+x^4)^{-2} dx=\frac{3\pi \cdot 2^{1/4}}{16}$$
