Prueba de que la Línea de Michael es Hausdorff ( $T_{2}$ )

Question

¿Puedo recibir comentarios sobre mi prueba, por favor?

Demuestra la topología de la línea Michael, $T_\mathbb{M}=\{U \cup F: U$ está abierto en $\mathbb{R}$ y $F\subset \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\}$ es $T_{2}$ (Hausdorff).

Dejemos que $a,b \in \mathbb{R}$ . WLOG, que $a<b$ . Dejemos que $x \in (a,b)$ . Entonces $a<x<b$ . Claramente, $(-\infty , x), (x, \infty)$ son subconjuntos abiertos y disjuntos de $T_\mathbb{M}$ . Además, $a \in (-\infty , x)$ y $b \in (x, \infty)$ Así que.., $T_\mathbb{M}$ es $T_{2}$ o Hausdorff.

Answer 1

Tu demostración es correcta: separas los puntos con conjuntos que son estándar-abiertos (en los reales) y porque la topología de la línea de Michael tiene como topología un superconjunto de la topología habitual (porque siempre podemos tomar $F = \emptyset$ ), estos conjuntos abiertos estándar siguen abiertos en la nueva topología y son los necesarios.