¿Es un juego entre dos conjuntos de igual medida mensurable?

Question

El Lebesgue sigma álgebra se completa con respecto a la medida de Lebesgue, lo que significa que si $A$ es Lebesgue medible conjunto con medida de Lebesgue $0$ e $B$ es un subconjunto de a$A$, a continuación, $B$ es Lebesgue medible así. Pero me gustaría saber si hay algo más fuerte que es verdad.

Supongamos que $A$ es un subconjunto de a$B$ que es un subconjunto de a$C$, donde $A$ e $C$ son Lebesgue medibles y conjuntos de la medida de Lebesgue de $A$ es igual a la medida de Lebesgue de $C$. Entonces mi pregunta es, ¿ a$B$ tiene que ser Lebesgue medibles así?

Answer 1

Si <span class="math-container">$A$</span> y <span class="math-container">$C$</span> cada Lebesgue medible, también lo es <span class="math-container">$C\setminus A$</span> y así por la aditividad finita se tiene medida cero.

Pero también tiene medida cero y por lo tanto es mensurable, <span class="math-container">$B\setminus A$</span> <span class="math-container">$$B=A\cup(B\setminus A)$ $</span> es la Unión de dos conjuntos medibles, por lo tanto es mensurable.