Separación de conjuntos cerrados con distancia $>0$ por función $f \in C_b^k( \mathbb {R}^d)$

Question

Me interesa el siguiente problema sobre la separación de los conjuntos cerrados:

Deje que $A,B \subseteq \mathbb {R}^d$ sean conjuntos cerrados de tal manera que $$d(A,B) := \inf\ {|x-y|; x \in A, y \in B\}>0.$$ Pregunta: ¿Existe una función $f \in C_b^k( \mathbb {R}^d)$ de tal manera que $$f^{-1}(\{0\}) = A \quad \text {and} \quad f^{-1}(\{1\})=B \tag {1}$$ ...?

Aquí, $C_b^k( \mathbb {R}^d)$ denota el espacio de funciones $f: \mathbb {R}^d \to \mathbb {R}$ con derivados acotados hasta el orden $k$ y $k \in \mathbb {N}$ es un número fijo.

Es un resultado clásico que existe un continuo función $f$ satisfactoria $(1)$ . Con un poco más de esfuerzo se puede demostrar que existe un liso función $f \in C^{ \infty }( \mathbb {R}^d)$ que satisface $(1)$ Esto es, por ejemplo, discutido en esta pregunta y en la monografía Múltiples diferenciables por L. Conlon ("lemma Urysohn suave").

Creo firmemente que la respuesta a mi pregunta es "sí", pero no he podido encontrar ningún resultado sobre el límite de los derivados de la función de Urysohn. $f$ . La condición $d(A,B)>0$ significa intuitivamente que la función $f$ no necesita ser arbitrariamente empinada, y por lo tanto sería natural que $f$ puede ser elegida de tal manera que sus derivados sean delimitados. Sin embargo, no es obvio para mí cómo probar esto rigurosamente; la construcción discutida en la pregunta, que relacioné arriba, no parece ser útil.

Estaría encantado de tener referencias y/o sus pensamientos sobre la cuestión.

Answer 1

Creo que logré probar la afirmación; resulta que es posible construir $f \in C_b^{ \infty }( \mathbb {R}^d)$ satisfactoria $(1)$ .

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Como $d(A,B)>0$ podemos elegir $ \epsilon >0$ de tal manera que los conjuntos $$A_{ \epsilon } := A+ \overline {B(0, \epsilon )} \qquad B_{ \epsilon } := B+ \overline {B(0, \epsilon )}$$ son desarticulados. De acuerdo con el resultado que mencioné en mi pregunta, existe $h \in C^{ \infty }( \mathbb {R}^d)$ , $0 \leq h \leq 1$ de tal manera que $$h^{-1}(\{0\}) = A_{ \epsilon } \quad \text {and} \quad h^{-1}(\{1\})=B_{ \epsilon }.$$ Ahora deja que $ \varphi \in C_c^{ \infty }( \mathbb {R}^d)$ ser tal que $ \text {spt} \, \varphi = \overline {B(0, \epsilon )}$ , $ \int \varphi (y) \, dy=1$ y $ \varphi \geq 0$ . Defina $$f(x) := (h \ast \varphi )(x) = \int_ { \mathbb {R}^d} h(y) \varphi (x-y) \, dy.$$ Desde $f$ es la convolución de una función continua limitada con una función suave con un soporte compacto, es bien sabido que $f$ es suave y sus derivados están dados por

$$ \partial_x ^{ \alpha } f(x) = \int_ { \mathbb {R}^d} h(y) \partial_x ^{ \alpha } \varphi (x-y) \, dy$$

para cualquier multi-index $ \alpha \in \mathbb {N}_0^d$ . Esto implica, en particular, $\| \partial ^{ \alpha } f\|_{ \infty } \leq \| \partial ^{ \alpha } \varphi\ |_{L^1}< \infty $ y así $f \in C_b^{ \infty }( \mathbb {R}^d)$ . Además, como $ \text {spt} \, \varphi \subseteq \overline {B(0, \epsilon )}$ es obvio que $f(x)=0$ para cualquier $x \in A$ y $f(x)=1$ para $x \in B$ . Queda por comprobar que $0<f(x)<1$ para cualquier $x \in (A \cup B)^c$ . Con este fin, consideramos varios casos por separado:

• Caso 1: $x \in \mathbb {R}^d \backslash (A_{ \epsilon } \cup B_{ \epsilon })$ . Luego $0 < h(x)<1$ y por lo tanto podemos elegir $r \in (0, \epsilon )$ de tal manera que $$0 < \inf_ {|y-x| \leq r} h(y) \leq \sup_ {|y-x| \leq r} h(y)<1;$$ esto implica $$ \begin {align*} f(x) & \leq \int_ { \overline {B(x,r)}^c} \varphi (x-y) \, dy + \underbrace { \sup_ {|y-x| \leq r} h(y)}_{<1} \int_ { \overline {B(x,r)}} \varphi (x-y) \, dy \\ &< \int_ { \mathbb {R}^d} \varphi (x-y) \, dy =1; \end {align*}$$ aquí hemos usado eso $ \text {spt} \, \varphi = \overline {B(0, \epsilon )} \supseteq \overline {B(x,r)}$ . Una estimación muy similar muestra $f(x)>0$ .
• Caso 2: $x \in A_{ \epsilon } \backslash A$ . Tenemos $ \overline {B(x, \epsilon )} \cap A^c \neq \emptyset $ y por lo tanto existen $y \in \mathbb {R}^d$ y $r>0$ de tal manera que $$ \overline {B(y,r)} \subseteq A^c \cap \overline {B(x, \epsilon )}.$$ En particular $$0 < \inf_ {z \in \overline {B(y,r)}} h(z) \leq \sup_ {z \in \overline {B(y,r)}} h(z) < 1.$$ Desde $ \text {spt} \, \varphi = \overline {B(0, \epsilon )}$ se sigue muy similar como en el primer caso que $0<f(x)<1$ .
• Caso 3: $x \in B_{ \epsilon } \backslash B$ . Esto funciona como el caso 2.

En consecuencia, hemos demostrado que $f$ tiene todas las propiedades deseadas.