¿Hensel lemma - generalización?

Question

Deje $f \in \Bbb Z[X]$ ser monic y asumir que $f$ tiene una raíz $a_n$ modulo $p^n$ por cada $n \geq 1$ (donde $p$ es una prima fija). De lo anterior se sigue que $f$ tiene una raíz en $\Bbb Z_p$?

El problema es que nosotros tengamos la $f'(a_n) \equiv 0 \pmod p$ , de modo que Hensel del lema no se aplica directamente. Si esto es cierto, ¿qué referencia/libro da una prueba de este hecho (indicado arriba)?

Answer 1

Sí, y esto no es una generalización de Hensel del lexema.

Vamos a pasar repetidamente a las subsecuencias de la siguiente manera. En primer lugar, el conjunto de $R_1 = \{ a_n \bmod p \}$ tiene un número finito de elementos, así que debe haber algún residuo $r_1 \in R_1$ tales que existen infinitos $n$ con $a_n \equiv r_1 \bmod p$. Pasar a esta larga; es decir, asumir WLOG que todos los $a_n$ tiene esta propiedad (principalmente con el fin de evitar tener que venir para arriba con algunas molesto trozo de notación para el nuevo larga).

Próxima construcción de $R_2 = \{ a_n \bmod p^2 : n \ge 2 \}$, que a su vez es finito, así que de nuevo hay algo de residuo $r_2 \in R_2$ tales que existen infinitos $n$ con $a_n \equiv r_2 \bmod p^2$. Pasar de nuevo a esta larga. Etc.

De esta manera construimos una secuencia de residuos de $r_k \in \mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z}$ tal que $r_k \equiv r_{k-1} \bmod p^{k-1}$ y tales que existen infinidad de $a_n$ tal que $a_n \equiv r_k \bmod p^k$. El $r_k$ definir un elemento $r \in \mathbb{Z}_p$ que es una raíz de $f$. Tenga en cuenta que nosotros no necesitamos suponer que $f$ es monic.

Answer 2

Considere la posibilidad de $f$ como un mapa de $\mathbb{Z}_p\to\mathbb{Z}_p$. Desde $f$ tiene una raíz mod $p^n$ para todos los $n$, la imagen de $f$ contiene puntos arbitrariamente cercanos a $0$ en la $p$-ádico métrica. Pero $f$ es continua y $\mathbb{Z}_p$ es un compacto Hausdorff espacio, por lo que la imagen de $f$ debe estar cerrada. Por lo tanto $0$ es en la imagen de $f$, es decir, $f$ tiene una raíz en $\mathbb{Z}_p$.

(Si usted relajarse esta prueba es esencialmente la misma que Qiaochu, pero el lenguaje topológico que realmente hace que sea muy sencillo!)