Integración de la matriz gaussiana

Question

Consideremos una matriz aleatoria hermitiana $B$ de tamaño $N\times N$ con una medida de probabilidad gaussiana dada por

$$ dx(B) = e^{-\frac{N}{2}Tr(B^2)}\prod_{i=1}^N dB_{ii} \prod_{i<j} d\Re(dB_{ij})d\Im(dB_{ij}) $$ donde $B_{ii}, \Re(B_{ij}), \Im(B_{ij})$ son variables aleatorias gaussianas independientes.

¿Cómo podemos demostrar la siguiente integral? Estoy buscando una prueba detallada que implique reducirla a la integral gaussiana habitual que podemos hacer, gracias.

$$ \int dx(B) = 2^N \left(\frac{\pi }{N}\right)^{\frac{N^2}{2}} $$

Answer 1

Tenemos $Tr(B^2)=\sum_i\sum_j B_{ij}B_{ji}=\sum_i\sum_j \mid B_{ij}\mid^2=\sum_i B_{ii}^2+2\sum_{i<j}Re(B_{ij})^2+Im(B_{ij})^2$ . Por lo tanto, el integrando se convierte en $\prod_i e^{-nx_{ii}^2/2}dx_{ii}\prod_{i<j}e^{-2nr_{ij}^2/2}dr_{ij} e^{-2nI_{ij}^2/2}dI_{ij}$ por la independencia de los componentes (he utilizado una notación diferente para las variables ficticias sólo para simplificar). Entonces, cada término del primer producto es $\int e^{-nx^2/2}dx=(2\pi/n)^{1/2}$ mientras que cada término de la segunda es $((\pi/n)^{1/2})^2$ . Hay N términos en el primer producto y $N(N-1)/2$ en el segundo, por lo que obtenemos $(2\pi/n)^{n/2}(\pi/n)^{n(n-1)/2}=2^{n/2}(\pi/n)^{n^2/2}$

Edición: También creo que es incorrecto decir que $dB_{ii}$ es una medida gaussiana. Si se supone que las entradas se distribuyen conjuntamente según dx (normalizadas a 1), entonces es cierto que son gaussianas independientes, pero en la ecuación que define dx, la medida $dB_{ii}$ es simplemente la medida de Lebesgue en la línea (intente sustituirla por una medida gaussiana y obtendrá una respuesta diferente)

Answer 2

Su pregunta implica un conjunto de argumentos bastante estándar en la literatura sobre matrices aleatorias, así que le proporcionaré referencias que puede utilizar. No sé si hay una prueba muy corta y elemental del resultado que no implique los pasos que describo a continuación

El primer paso es reducir los grados de libertad: en el conjunto hermitiano, cualquier matriz hermitiana $B=UDU^*$ con $U$ una matriz unitaria y $D$ la matriz de valores propios donde $U$ y $D$ son independientes. El cambio de la variable $B\rightarrow(U,D)$ se puede trabajar en detalle y se lee

$$\Pi_{ij} d B_{ij} = VDM(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)^2 \Pi_{i=1}^nd\lambda_i d\Omega $$

donde $VDM$ es el vandermonde de los valores propios $\lambda_i$ y $d\Omega$ es la medida de Haar en el grupo unitario. La prueba no es sencilla y los detalles se proporcionan aquí

Conferencias sobre matrices aleatorias

Ahora la integral particular con medida gaussiana define lo que se llama el Conjunto Unitario Gaussiano porque el integrando es invariante bajo la transformación unitaria por lo que la integral a evaluar pasa a ser

$$\int \Pi_{i=1}^nd\lambda_i \exp\left(-\frac{N}{2}\sum_i\lambda_i^2\right)\Pi_{i<j}(\lambda_i-\lambda_j)^2$$

El siguiente paso del cálculo es proyectar los polinomios de Vandermonde sobre la base de polinomios ortogonales con respecto a la medida gaussiana, también conocidos como polinomios de Hermite en este caso.

Esto se trabaja en detalle en los siguientes 2 documentos donde se explica el valor esperado del producto de 2 vandermonde

Conjuntos polinómicos ortogonales en la teoría de la probabilidad

Dímeros y polinomios ortogonales: conexiones con matrices aleatorias