¿Prueba combinatoria de $\binom{3n}{3} =3\binom{n}{3} +6n\binom{n}{2} +n^3$?

Question

<blockquote> <p>Dar una <strong>prueba combinatoria</strong> de la identidad siguiente: <span class="math-container">%#% $ #%</span></p> </blockquote> <p>He estado trabajando en esta prueba durante horas, sin embargo no soy capaz de mostrar el lado izquierdo = lado derecho-totalmente entiendo el teorema del binomio y algunas pruebas combinatorias, pero no ha podido tener éxito este. Se agradecería la ayuda.</p>

Answer 1

Organizar $3n$ bolas en 3 filas y cada fila contiene $n$ bolas.

Hay $\binom{3n}{3}$ formas de seleccionar $3$ bolas de ellos. Podemos agrupar las selecciones en $3$ categorías:

1. Seleccione una bola de cada fila. Hay $n$ opciones para cada fila, esto contribuye $n^3$ formas de recoger las bolas.

2. Seleccione dos bolas de una fila y una bola de la otra fila. Hay $3 \times 2 = 6$ formas de seleccionar las filas. Desde allí se $\binom{n}{2}$ maneras de seleccionar dos bolas de una fila y $n$ formas de seleccionar una bola de una fila, esto contribuye $6 \binom{n}{2} n$ formas de seleccionar las bolas.

3. Seleccione tres bolas de una sola hilera. Hay $3$ formas de seleccionar la fila y $\binom{n}{3}$ formas de seleccionar tres bolas de esa fila. Esto contribuye $3\binom{n}{3}$ maneras.

Estos $3$ categorías no se solapan y de escape de todas las formas posibles a seleccionar tres bolas. Como resultado,

$$\binom{3n}{3} = n^3 + 6\binom{n}{2} n + 3\binom{n}{3}$$

Answer 2

<span class="math-container">$${3n\choose3}=3{n\choose3}+6n{n\choose2}+n^3$$<span class="math-container">$$\frac12n\cdot(3n-1)\cdot(3n-2)=\frac12n\cdot(n-1)\cdot(n-2)+3n^2\cdot(n-1)+n^3$$</span> ¿Lo puede tomar desde aquí?</span>

Answer 3

<span class="math-container">$2!=2, 3!=6$</span>, así:

<span class="math-container">$$\binom{3n}{3}=\frac n2(3n-1)(3n-2)$$</span> <span class="math-container">$$3\binom{n}{3}=\frac n2(n-1)(n-2)$$</span> <span class="math-container">$$6n\binom{n}{2}=3n^2(n-1)$$</span>

Usé ese <span class="math-container">$$\frac{x!}{(x-a)!}=x^{\underline{x-a}}=\prod_{n=0}^{a-1}{(x-n)}$ $</span>

Ver caer factoriales

Answer 4

Deje $A,B,C$ ser $3$ grupos de $n$de los estudiantes de cada uno de los grados (marcas) $A,B,C$, respectivamente. Usted necesita para seleccionar $3$ de los estudiantes.

El LHS es simplemente la combinación de las $3n$ de los estudiantes elegido $3$ a un tiempo.

El lado derecho es para elegir a$3,2,1$ o $0$ estudiantes de $A,B$ e $C$, respectivamente: $${n\elegir 3}{n\elegir 0}{n\elegir 0}+{n\elegir 2}{n\elegir 1}{n\elegir 0}+{n\elegir 2}{n\elegir 0}{n\elegir 1}+{n\elegir 1}{n\elegir 2}{n\elegir 0}+{n\elegir 1}{n\elegir 1}{n\elegir 1}+\\ {n\elegir 1}{n\elegir 0}{n\elegir 2}+{n\elegir 0}{n\elegir 3}{n\elegir 0}+{n\elegir 0}{n\elegir 2}{n\elegir 1}+{n\elegir 0}{n\elegir 1}{n\elegir 2}+{n\elegir 0}{n\elegir 0}{n\elegir 3}=\\ {n\elegir 3}\cdot 1\cdot 1+{n\elegir 2}\cdot n\cdot 1+{n\elegir 2}\cdot 1\cdot n+n\cdot {n\elegir 2}\cdot 1+n\cdot n\cdot n+\\ n\cdot 1\cdot{n\elegir 2}+1\cdot{n\elegir 3}\cdot1+1\cdot{n\elegir 2}\cdot n+1\cdot n\cdot{n\elegir 2}+1\cdot 1\cdot {n\elegir 3}=\\ 3{n\elegir 3}+6n{n\elegir 2}+n^3.$$

Answer 5

Fuerza bruta:

<span class="math-container">$27n^{3} - 27n^{2}+ 6n = 27n^{3} - 27n^{2} + 6n$</span>

<span class="math-container">$27n^{3} - 9n^{2} - 18n^{2} + 6n = 3n^{3} - 3n^{2} - 6n^{2} + 6n + 18n^{3} - 18n^{2} + 6n^{3}$</span>

<span class="math-container">$(9n^{2} - 3n)(3n - 2) = (3n^{2} - 3n)(n - 2) + 18n^{2}(n-1) + 6n^{3}$</span>

<span class="math-container">$3n(3n - 1)(3n - 2) = 3n(n - 1)(n - 2) + 3(6n)n(n-1) + 6n^{3}$</span>

<span class="math-container">$3n(3n - 1)(3n - 2)/6 = 3n(n - 1)(n - 2)/6 + (6n)n(n-1)/2 + n^{3}$</span>

<span class="math-container">$\binom{3n}{3} =3\binom{n}{3} +6n\binom{n}{2} +n^3$</span>