Aproximación de Euler a pi.

Question

Hace poco me encontré con la fórmula:

$$\pi=20\arctan\frac{1}{7}+8\arctan\frac{3}{79}$$

desarrollado por Euler, para aproximar pi. Lo evalué hasta varios miles de decimales y hasta ese punto, representaba pi con precisión.

¿Cuándo se rompe esta ecuación en su representación de pi?

Answer 1

Esa fórmula no se rompe. Se puede demostrar que el lado derecho es igual a $\pi$ . Una de las razones por las que surge en relación con aproximación es que los términos de la arctangente se pueden aproximar bien añadiendo términos de la expansión de Taylor de la función arctangente,

$$\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\cdots.$$

Esto es válido para $|x|\leq 1$ pero la serie converge más rápidamente cuanto más cerca $x$ es $0$ Así, con la relativamente pequeña $\frac{1}{7}$ y $\frac{3}{79}$ como entradas da una buena aproximación sin tener que tomar demasiados términos. Esto se puede contrastar con la fórmula $$\pi=4\arctan(1)=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots\right),$$ donde la serie converge mucho más lentamente.

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En 1950 H.C. Schepler publicó una "Cronología de pi" en 3 partes en Revista de matemáticas Disponible para quienes tengan acceso a JSTOR aquí , aquí y aquí . En la segunda parte se encuentra el siguiente extracto que indica que Hutton puede haber sugerido el uso de la fórmula antes de Euler:

La cronología de Schepler también puede encontrarse en la obra de L. Berggren, J. Borwein y P. Borwein Pi: Un libro de consulta .

Answer 2

Los alumnos soviéticos de 8º curso suelen resolver este problema de la siguiente manera. Primero, dividir por 4. Luego un arco portátil tangente en la dirección opuesta. A continuación, calcular la tangente de la parte derecha y la izquierda utilizando una fórmula muy simple tg(A+B).