Tasa de convergencia de $a_{n+1}=\ln(a_n+1)$

Question

Deje $a_0=1$ e $a_{n+1}=\ln(a_n+1)$. El objetivo es encontrar $$ (\estrellas)\quad \lim_{n\to \infty}\frac{n(na_n-2)}{\ln n} $$

Es fácil ver que $a_n\to 0$. Además, se puede demostrar que $$ \lim_{n\to \infty}na_n=2. $$ De hecho, uno puede obtener por Stolz del teorema que \begin{align} \lim_{n\to\infty}\frac{n}{\frac{1}{a_n}} &= \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)-n}{\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}} \\ &=\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\frac{1}{\ln(1+a_n)}-\frac{1}{a_n}} \\ &= \lim_{n\to\infty}\frac{a_n\ln(1+a_n)}{a_n-\ln(1+a_n)} \\ &=2 , \end{align} Cómo evaluar el límite de $(\star)$?

Answer 1

Introducir la secuencia inversa <span class="math-container">$b_n=1/an$</span>: <span class="math-container">$$b{n+1}=\frac{1}{\ln{(1+1/b_n)}}$ $</span> ya estaba demostrado que: <span class="math-container">bn=\frac{n}{2}+o(n) $$ $$</span> entonces: Teorema de <span class="math-container">$$S=\lim{n\rightarrow\infty}\frac{n(nan-2)}{\ln n}=\lim{n\rightarrow\infty}\frac{(n-2bn)}{\ln n}\lim{n\rightarrow\infty}\frac{n}{bn}=\lim{n\rightarrow\infty}\frac{2(n-2bn)}{\ln n}$ $</span> usando Stolz: <span class="math-container">%#% $ #%</span> <span class="math-container">$ de $$S=2\lim{n\rightarrow\infty}\frac{(n+1-2b_{n+1})-(n-2bn)}{\ln{(n+1)}-\ln{n}}$</span> <span class="math-container">$$=2\lim{n\rightarrow\infty}\frac{2b_n+1-2/\ln^{}{(1+1/bn)}}{1/n}\lim{n\rightarrow\infty}\frac{1/n}{\ln{(n+1)}-\ln{n}}$ $</span>

Answer 2

Deje $L$ denotar el límite en el OP. Entonces $$ a_n=\frac{2}{n}+\frac{L\log n}{n^2}+\mathcal O(n^{-3}\log n) $$ y $$ \log(a_{n-1}+1)=\frac{2}{n}+\frac{L\log n}{n^2}+\frac{\frac23-L}{n^3}+\mathcal O(n^{-3}\log n) $$

Insistiendo en que las dos expansiones son idénticos requiere de $L=\frac23$. Una técnica similar se puede utilizar para obtener un mayor correcciones de orden.