Los módulos proyectivos y homomorphisms del anillo.

Question

Que $\varphi:R\rightarrow S$ ser un homomorfismo del anillo entre anillos comutativos con unidad. ¿Si $P$ es un proyectivo $R$-módulo, es su extensión $P\otimes_RS$ un proyectivo $S$-módulo?

Traté de espectáculos que el Funtor $Hom_S(P\otimesRS,\)$ es exacto, pero no sabía como encontrar un homomorfismo que el homomorfismo inducido lo lleva en un homomorfismo fijo.

Answer 1

Sí, cada módulo proyectivo es un sumando directo de un módulo libre. Si $P$ es proyectivo, entonces $P\oplus Q=F$ % módulo $P$y algunos libre módulo $F$. Tensoring con $S$ da $(P\otimes_RS)\oplus(Q\otimes_R S)=F\otimes_R S$. Como una suma directa de un número de copias de $R\otimes_R S$, $F\otimes_R S$ es libre en $S$. Como un sumando directo de un módulo libre, $P\otimes_R S$ es gratis.

Answer 2

Extensión de escalares es izquierdo-adjoint a restricción de escalares. Restricción de escalares conserva epimorphisms. Sigue de absurdo abstracto que extensión de escalares envía objetos proyectivos proyectivas objetos.