Ecuación mediante matriz, que no tiene solución, tiene una solución y tiene infinitas soluciones.

Question

$$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1&-2&4\\ a&4&5 \end{array} \right] $$

Me encontré con esta pregunta en una de las diapositivas de mi curso, y tengo problemas para entender el concepto de que una ecuación no tenga solución, tenga una solución o tenga infinitas soluciones.

$$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1&-2&4\\ 0&4+2a&5-4a \end{array} \right] $$

esta fue la matriz resultante. Lo que no entiendo es cómo se obtiene $(4+2a)$ y $(5-4a)$ ? Y qué hay que hacer para que una misma ecuación no tenga solución, tenga una única solución y tenga infinitas soluciones. ¿Puede alguien ayudar, por favor?

Answer 1

La primera fórmula (matriz aumentada) representa el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$$x-2y=4\tag 1$$ $$ax+4y=5.\tag 2$$

A partir de la primera ecuación $$x=4+2y.$$

Sustituyendo esto en la segunda ecuación obtenemos $$0x+(2a+4)y=5-4a.\tag 3$$

$(1)$ y $(3)$ juntos pueden expresarse como la siguiente matriz aumentada

$$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1&-2&4\\ 0&4+2a&5-4a \end{array} \right] .$$

Desde $(3)$ la solución para $y$ es

$$\frac{5-4a}{4+2a}.$$

Si $a=-2$ entonces no hay solución ya que el denominador es cero entonces. Esto se puede ver, también, si sustituimos $a=-2$ en $(1)$ y $(2)$ :

$$x-2y=4\tag 1$$ $$-2x+4y=5\tag 2$$ o $$x-2y=4\tag 1$$ $$2(x-2y)=-5\tag 2$$

que es imposible.

Si $a\not =-2$ entonces siempre hay una única solución.

Answer 2

Para responder a tu primera pregunta, sobre cómo estás obteniendo esa matriz, recuerda que puedes aplicar operaciones que involucren las líneas de una matriz (disculpa mi débil expresión respecto al inglés).

En concreto, se obtiene esa matriz cuando se hace lo siguiente :

$$-aL_1 + L_2 \to L_2$$

lo que significa que se multiplica la primera línea de la matriz inicial por $-a$ y luego añadirlo a la segunda línea. Este paso se suele realizar cuando se quiere formar una matriz triangular inferior y es una de las acciones más básicas del Álgebra Lineal (recordemos el método de eliminación de Gauss).

Ahora, revisemos la segunda parte de su pregunta.

• Si $4+2a = 0 \Leftrightarrow a = -2$ entonces se obtendría una ecuación de la forma : $0x + 0y=13$ que no se sostiene. Así, para $a=-2$ el sistema lineal no se mantiene.

• Si $5-4a=0\Leftrightarrow a=5/4$ entonces se obtendría una ecuación de la forma : $0x + (4+5/2)y=0$ lo que significa $y=0$ y por lo tanto sustituyendo en la ecuación de la primera línea $x=4$ . Así, para este valor de $a$ hay una solución única para su sistema de ecuaciones dado.

• Para que el sistema tenga infinitas soluciones, una de las dos ecuaciones debe ser : $0x + 0y = 0$ que es válida para cualquier $(x,y) \in \mathbb R^2$ y significa que cualquier par (infinitos pares) que satisfagan la ecuación de la primera línea : $x-2y = 4$ es una solución del sistema, por lo que tiene infinitas soluciones. ¿Puedes entender esa parte?