¿Qué es? $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{(x^3+y^3)}{(x^2-y^2)}$ ?

Question

En clase nos dieron simplemente que este límite es indefinido ya que a lo largo de los caminos $y=\pm x$ la función es indefinida.

¿Estoy en lo cierto al pensar que esto debería ser así para cualquier función, donde el denominador es $x^2-y^2$ ¿Independientemente de cuál sea el numerador?

Sólo quería ver si esta es una manera rápida de identificar los límites de esta forma.

Gracias por el debate y la ayuda.

Answer 1

Si define $$\lim_{\langle x,y\rangle\to\langle a,b\rangle}f(x,y)\tag{1}$$ de tal manera que sólo existe cuando la función está definida en alguna bola abierta centrada en $\langle a,b\rangle$ entonces lo que has escrito es correcto. Esto es análogo a definir $$\lim_{x\to a}f(x)$$ sólo cuando $f(x)$ se define en algún intervalo abierto centrado en $a$ . Sin embargo, al igual que podemos hablar de límites unilaterales en la línea real, tiene perfecto sentido hablar de $(1)$ siempre que $f(x,y)$ se define en puntos arbitrariamente cercanos a $\langle a,b\rangle$ . En ese caso se entiende que sólo miramos el límite a lo largo de "caminos" dentro del dominio de $f$ . En ese sentido $$\lim_{\langle x,y\rangle\to\langle 0,0\rangle}\frac{x^3+y^3}{x^2-y^2}$$ todavía no existe, pero por una razón más fundamental.

Supongamos que te acercas al origen a lo largo de la curva $y=\sin x$ . Entonces por la regla de l'Hospital tienes

$$\begin{align*} \lim_{\langle x,y\rangle\to\langle 0,0\rangle}\frac{x^3+\sin^3x}{x^2-\sin^2x}&=\lim_{\langle x,y\rangle\to\langle 0,0\rangle}\frac{3x^2+3\sin^2x\cos x}{2x-2\sin x\cos x}\\\\ &=\lim_{\langle x,y\rangle\to\langle 0,0\rangle}\frac{3x^2+\frac32\sin2x\cos x}{2x-\sin2x}\\\\ &=\lim_{\langle x,y\rangle\to\langle 0,0\rangle}\frac{6x-\frac32\sin2x\sin x+3\cos2x\cos x}{2-2\cos2x} \end{align*}$$

que no existe: el numerador se aproxima $3$ y el denominador, $0$ . El problema es que este camino, aunque se mantiene dentro del dominio de la función, se acerca a la línea $y=x$ tan rápido al acercarse al origen que el denominador se aproxima $0$ mucho más rápido que el numerador, por lo que la función se infla al acercarnos al origen por este camino.

Answer 2

La respuesta de Brian es agradable, por lo que me hizo pensar, qué tal si enfocamos el punto a lo largo de otras funciones, $y=f(x)$ con $f(0)=0$ . Introduzcamos esto en la expresión para obtener $\frac{x^3+f^3}{x^2-f^2}$ . Esto dará $$\lim_{x \to 0} \frac{x^2-xf+f^2}{x-f}\;.$$

Ahora realizaremos una regla de l'Hospital para obtener $$\lim_{x \to 0} \frac{2x-xf'-f+2ff'}{1-f'}\;.$$ Si en este punto suponemos que $f'(0)=1$ tenemos otro $0/0$ . Si $f'\neq 1$ , obtenemos que el límite es cero. Así que ahora vamos a golpear esto con otro l'Hospital. Esto nos dará $$\lim_{x \to 0} \frac{2-2f'-xf''+2f''f'+2(f')^2}{-f''}\;. \qquad (*)$$

Cuando se evalúa en $x=0, f'=1$ obtenemos $$\lim_{x \to 0} -\frac{2f''+2}{f''}\;.$$ Y puedes decidir cuál quieres que sea el límite eligiendo un valor para $f''$ .

Answer 3

Para su función, en el dominio de $f$ (así $x\ne \pm y)$ para calcular el límite se puede establecer $x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$ y lo enchufa. Obtendrá $\lim\limits_{r\to 0} \frac{r^3(cos^3\theta+sin^3\theta)}{r^2(cos^2\theta-sin^2\theta)} =\lim\limits_{r\to 0} \frac{r(cos^3\theta+sin^3\theta)}{(cos^2\theta-sin^2\theta)}$ y se puede ver fácilmente que esto es $0$ para cualquier $\theta$ en el ámbito de $f$ (hay que evitar $\theta = \frac{n\pi}{2}-\pi/4$ ). Por supuesto, si se considera todo el plano, entonces el límite no existe, porque la función ni siquiera está definida en $y=x$ , por lo que no se puede calcular el límite a lo largo de ese camino.

Answer 4

No importa que a lo largo de las líneas $y = \pm x$ la función es indefinida; todavía puede permanecer dentro del dominio de $f(x,y) = \frac{x^3 + y^3}{x^2-y^2}$ y tratar de calcular el límite, bajo la restricción de que $y \neq \pm x$ . El límite podría seguir definiéndose en $(0,0)$ .

Pero hay casos en los que tu truco no funciona : piensa en $\frac{x^4-y^4}{x^2-y^2} = x^2 + y^2$ que es continua en $(0,0)$ .

Espero que eso ayude,