En clase nos dieron simplemente que este límite es indefinido ya que a lo largo de los caminos $y=\pm x$ la función es indefinida.
¿Estoy en lo cierto al pensar que esto debería ser así para cualquier función, donde el denominador es $x^2-y^2$ ¿Independientemente de cuál sea el numerador?
Sólo quería ver si esta es una manera rápida de identificar los límites de esta forma.
Gracias por el debate y la ayuda.
Si define $$\lim_{\langle x,y\rangle\to\langle a,b\rangle}f(x,y)\tag{1}$$ de tal manera que sólo existe cuando la función está definida en alguna bola abierta centrada en $\langle a,b\rangle$ entonces lo que has escrito es correcto. Esto es análogo a definir $$\lim_{x\to a}f(x)$$ sólo cuando $f(x)$ se define en algún intervalo abierto centrado en $a$ . Sin embargo, al igual que podemos hablar de límites unilaterales en la línea real, tiene perfecto sentido hablar de $(1)$ siempre que $f(x,y)$ se define en puntos arbitrariamente cercanos a $\langle a,b\rangle$ . En ese caso se entiende que sólo miramos el límite a lo largo de "caminos" dentro del dominio de $f$ . En ese sentido $$\lim_{\langle x,y\rangle\to\langle 0,0\rangle}\frac{x^3+y^3}{x^2-y^2}$$ todavía no existe, pero por una razón más fundamental.
Supongamos que te acercas al origen a lo largo de la curva $y=\sin x$ . Entonces por la regla de l'Hospital tienes
$$\begin{align*} \lim_{\langle x,y\rangle\to\langle 0,0\rangle}\frac{x^3+\sin^3x}{x^2-\sin^2x}&=\lim_{\langle x,y\rangle\to\langle 0,0\rangle}\frac{3x^2+3\sin^2x\cos x}{2x-2\sin x\cos x}\\\\ &=\lim_{\langle x,y\rangle\to\langle 0,0\rangle}\frac{3x^2+\frac32\sin2x\cos x}{2x-\sin2x}\\\\ &=\lim_{\langle x,y\rangle\to\langle 0,0\rangle}\frac{6x-\frac32\sin2x\sin x+3\cos2x\cos x}{2-2\cos2x} \end{align*}$$
que no existe: el numerador se aproxima $3$ y el denominador, $0$ . El problema es que este camino, aunque se mantiene dentro del dominio de la función, se acerca a la línea $y=x$ tan rápido al acercarse al origen que el denominador se aproxima $0$ mucho más rápido que el numerador, por lo que la función se infla al acercarnos al origen por este camino.
La respuesta de Brian es agradable, por lo que me hizo pensar, qué tal si enfocamos el punto a lo largo de otras funciones, $y=f(x)$ con $f(0)=0$ . Introduzcamos esto en la expresión para obtener $\frac{x^3+f^3}{x^2-f^2}$ . Esto dará $$\lim_{x \to 0} \frac{x^2-xf+f^2}{x-f}\;.$$
Ahora realizaremos una regla de l'Hospital para obtener $$\lim_{x \to 0} \frac{2x-xf'-f+2ff'}{1-f'}\;.$$ Si en este punto suponemos que $f'(0)=1$ tenemos otro $0/0$ . Si $f'\neq 1$ , obtenemos que el límite es cero. Así que ahora vamos a golpear esto con otro l'Hospital. Esto nos dará $$\lim_{x \to 0} \frac{2-2f'-xf''+2f''f'+2(f')^2}{-f''}\;. \qquad (*)$$
Cuando se evalúa en $x=0, f'=1$ obtenemos $$\lim_{x \to 0} -\frac{2f''+2}{f''}\;.$$ Y puedes decidir cuál quieres que sea el límite eligiendo un valor para $f''$ .
Para su función, en el dominio de $f$ (así $x\ne \pm y)$ para calcular el límite se puede establecer $x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$ y lo enchufa. Obtendrá $\lim\limits_{r\to 0} \frac{r^3(cos^3\theta+sin^3\theta)}{r^2(cos^2\theta-sin^2\theta)} =\lim\limits_{r\to 0} \frac{r(cos^3\theta+sin^3\theta)}{(cos^2\theta-sin^2\theta)}$ y se puede ver fácilmente que esto es $0$ para cualquier $\theta$ en el ámbito de $f$ (hay que evitar $\theta = \frac{n\pi}{2}-\pi/4$ ). Por supuesto, si se considera todo el plano, entonces el límite no existe, porque la función ni siquiera está definida en $y=x$ , por lo que no se puede calcular el límite a lo largo de ese camino.
Hay caminos dentro del dominio de $f$ a lo largo del cual el límite no es $0$ ; por ejemplo, $\theta(t)=\tan^{-1}\left(\frac{\sin t}t\right)$ y $r(t)=\sqrt{t^2+\sin^2t}$ como $t\to 0$ .
No importa que a lo largo de las líneas $y = \pm x$ la función es indefinida; todavía puede permanecer dentro del dominio de $f(x,y) = \frac{x^3 + y^3}{x^2-y^2}$ y tratar de calcular el límite, bajo la restricción de que $y \neq \pm x$ . El límite podría seguir definiéndose en $(0,0)$ .
Pero hay casos en los que tu truco no funciona : piensa en $\frac{x^4-y^4}{x^2-y^2} = x^2 + y^2$ que es continua en $(0,0)$ .
Espero que eso ayude,
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