Medición de variables aleatorias y funciones simples

Question

Problema : Como ya he mencionado antes, estoy estudiando la Teoría de la Probabilidad y la Medida por mi cuenta, y estoy usando Resnick como texto principal. He estado trabajando en el capítulo 3 sobre variables aleatorias, mapas medibles, etc. y estoy algo atascado en uno de los ejercicios.

Supongamos que tenemos un espacio $\Omega$ y una partición contable: { $B_n, n\geq 1$ } de ese espacio. A continuación, definimos el campo sigma $\mathcal{B}=\sigma(B_n,n\geq 1)$ .

Se nos pide que demostremos que una función $X:\Omega\rightarrow (-\infty,\infty]$ es $\mathcal{B}$ -si es de la forma:

$\sum_{i=1}^\infty c_i 1_{B_i}$ para las constantes { $c_i$ }.

Comprensión/intento de solución :

Si entiendo el problema (un "si" grande, pero variable), tenemos que demostrar que una variable aleatoria es medible si se puede expresar como una función simple, porque las funciones simples son medibles. Entonces, en efecto, ¿la variable aleatoria sólo puede tomar valores que correspondan a alguna combinación de conjuntos disjuntos que dividan el espacio?

En mi intento, empiezo con $B_i \in \mathcal{B}$ y demostrar que $X(\omega)=1_{B_i}(\omega)$ es medible porque $\varnothing, B_i^c, \Omega \in \mathcal{B}$ .

No estoy seguro de qué hacer a continuación, aunque parece que debería intentar demostrar que la imagen inversa de (c, $\infty$ ] bajo X debe ser una unión de elementos de $\mathcal{B}$ .

Incluso así, parece que sólo estoy abordando la parte "si", y no estoy seguro de qué hacer con la parte "sólo si" del ejercicio.

Como siempre, ¡gracias por toda la ayuda que puedan aportar!

Answer 1

Vamos a trabajar en esto por partes. Dado que has mostrado tu trabajo y estás haciendo esto para el autoaprendizaje, voy a ser demasiado verboso en aras de ser explícito y completo (espero).

¿Qué hace $\mathcal B$ ¿se ve así?

Desde $\{B_n\}$ es una partición contable entonces sabemos que las intersecciones son vacías, por lo tanto en $\sigma(B_n,n \geq 1)$ y por cierre bajo uniones contables, sabemos que para cada $I \subset \mathbb N$ , $\bigcup_{i \in I} B_i$ también debe estar en el $\sigma$ -Álgebra. Así que una buena primera aproximación podría ser mirar el sistema $$ \mathcal F := \big\{ \bigcup_{i \in I} B_i: I \subset \mathbb N \big\} \>. $$

Claramente $\mathcal F \subset \mathcal B$ como se ha descrito anteriormente. Compruebe los axiomas para ver que $\mathcal F$ es, en sí mismo, un $\sigma$ -y concluir que $\mathcal F = \mathcal B$ .

$X$ es una variable aleatoria .

Supongamos que $\newcommand{\o}{\omega} X(\o) = \sum_n c_n 1_{B_n}(\o)$ . Entonces, como $\o$ está exactamente en una $B_n$ , $X$ tiene (como mucho) un rango contable y podemos comprobar la mensurabilidad observando los conjuntos $\{\o:X(\o) = x\}$ . Pero, $$ \{\o:X(\o) = x\} = \bigcup_n \{B_n : c_n = x\} \in \mathcal B \>. $$ Así, $X$ es una variable aleatoria.

Todas las variables aleatorias se parecen a $X$ .

Supongamos que $X$ es una variable aleatoria medible con respecto a $\mathcal B$ .

La clave es trabajar con los conjuntos "adecuados". Para cada $B_n$ , elija un $\o_n \in B_n$ y establecer $x_n = X(\o_n)$ . Entonces $X^{-1}(\{x_n\})$ es medible ya que $\{x_n\} \in \mathcal B(\mathbb R)$ . Pero, esto implica que existe $I \subset \mathbb N$ tal que $$ X^{-1}(\{x_n\}) = \bigcup_{i \in I} B_i \>. $$

Desde $X(\o_n) = x_n$ tenemos que $B_n \subset \bigcup_{i \in I} B_i$ y así para todos $\o \in B_n$ , $X(\o) = X(\o_n) = x_n$ . En otras palabras, $X$ es constante en cada $B_n$ .

Sólo hay un número contable de $B_n$ Así que $X$ puede tomar como máximo un número contable de valores. Sean estos valores (distintos) $a_1, a_2,\ldots$ y tomar $A_n = X^{-1}(\{a_n\})$ . Entonces, $A_n$ son disjuntos, la partición $\Omega$ y están compuestas por la unión de conjuntos $B_n$ tal que cada una de estas uniones es disjunta por pares. Por ejemplo, para $n \neq m$ , $$ A_n := X^{-1}(\{a_n\}) = \bigcup_{i \in I_n} B_i \>, $$ y $$ A_m := X^{-1}(\{a_m\}) = \bigcup_{i \in I_m} B_i \>, $$ y $I_n \bigcap I_m = \varnothing$ .

Ahora tenemos suficiente para construir explícitamente $X$ . Para un determinado $I_n$ , set $c_i = a_n$ para todos $i \in I_n$ . Entonces, $X = \sum_i c_i 1_{B_i}$ como se desee.

Nota al margen : Resnick es un libro bastante bueno, sobre todo para el autoaprendizaje. Sin embargo, hay que tener en cuenta que hay un número no despreciable de ejercicios que aparecen en capítulos para los que aún no se ha introducido o desarrollado la teoría necesaria para resolverlos. (Aunque no hablo de este ejercicio en particular).

Answer 2

• Como has notado, $x\mapsto \mathbf 1_{B_j}(x)$ es medible para cada $j$ y también lo es $x\mapsto c_j\mathbf 1_{B_j}(x)$ . Una suma para funciones medibles es medible por lo tanto $x\mapsto \sum_{j=1}^nc_j\mathbf 1_{B_j}(x)$ es medible. Para conseguirlo $x\mapsto \sum_{i=1}^{+\infty}c_i\mathbf 1_{B_i}(x)$ es medible, basta con utilizar el hecho de que un límite simple de funciones medibles es medible.
• Para ver lo contrario tome $j_0\in \Bbb N$ y $x\in B_{j_0}$ (suponiendo que $B_{j_0}\neq \emptyset$ , de lo contrario, sólo hay que poner $c_{j_0}=0$ ). Tenemos que $x\in X^{-1}(\{X(x)\})$ y el último conjunto es $\mathcal B$ -medible y no vacía. Se pueden caracterizar los elementos de $\mathcal B$ : consiste en las uniones de la forma $\bigcup_{j\in J}B_j$ , donde $J\subset \Bbb N$ . Por lo tanto, $X^{-1}(\{X(x)\})\supset B_{j_0}$ y $X$ tiene el mismo valor en $B_{j_0}$ .