Maximizando el valor esperado con 2do momento restringido

Question

$$\begin{array}{ll} \text{maximize} & \displaystyle\int_{0}^{1} x \, f(x) \, \mathrm dx\\ \text{subject to} & \displaystyle\int_{0}^{1} f(x) \, \mathrm dx = 1\\ & \displaystyle\int_{0}^{1} x^2 f(x) \, \mathrm dx = 1\\ & f(x) \geq 0 \quad \forall x \in [0,1]\end{array}$$

Hace un par de años he estudiado el cálculo de variaciones, pero por alguna razón sigo persiguiendo mi cola sobre este problema. Si mi recuerdo es ni siquiera cerca de la marca de empezar con $$L=\int_{0}^{1} \left( f(x) \cdot x \right) dx + \lambda_1 \cdot \left( \int_{0}^{1} \left( f(x) \right) dx - 1\right) + \lambda_2 \cdot \left( \int_{0}^{1} \left( f(x) \cdot x^2 \right) dx - 1\right)$$

Y, a continuación, Euler, Lagrange gotas $f$ completamente y da

$$x+\lambda_1 +\lambda_2 x^2=0$$

Si la holgura limitaciones funcionales

$$L=\int_{0}^{1} \left( f(x) \cdot x \right) + \lambda_1(x) \cdot \left( \left( f(x) \right) - 1\right) + \lambda_2(x) \cdot \left( \left( f(x) \cdot x^2 \right) - 1\right) dx$$

da

$$x+\lambda_1(x) +\lambda_2(x) x^2=0$$

Pero no estoy seguro de si a partir de aquí cómo hacer cumplir las $\lambda$ parciales, que si sólo está tomado directamente parecen contradecirse el uno al otro...

Conceptualmente no debería ser una solución. Agradecería algunos consejos sobre este repaso.

Editar:

La única solución a las limitaciones es discontinuo. Mal planteado. ¿Qué acerca de... La versión en la que el valor esperado de X es reducir al mínimo tal que X>0 y el segundo momento Central (varianza) es 1? El PDF de la que creo que golpea las mismas barricadas que me golpeó por encima, pero es un trivial de cálculo. Objetivo para encontrar el PDF $f(x)$$x>0$.

Answer 1

El problema es imposible como ya se indicó,$f \geq 0$. Las limitaciones de la $\int_0^1 f(x)\, dx = \int_0^1 x^2 f(x)\, dx = 1$ puede ser combinado como $\int_0^1 (1-x^2) f(x) = 0$. Como $1-x^2$ es no negativa en $[0, 1]$ y positiva, excepto en $1$, esta restricción es imposible, excepto si $f$ es de Dirac distribución $\delta(x-1)$.

Si la restricción $f \geq 0$ es relajado, no hay máximo. Deje $F$ ser una antiderivada de $f$ tal que $F(0) = 0$, $F(1) = 1$. En este caso, la integración por partes da maximiza la cantidad como \begin{align*} \int_0^1 x f(x)\, dx &= \left. x F(x)\right|_0^1 - \int_0^1 F(x)\, dx \\ &= 1 - \int_0^1 F(x)\, dx\end{align*} así que tenemos para minimizar $\int_0^1 F(x)\, dx$ con las restricciones $F(0) = 0$, $F(1) = 1$, y \begin{align*} 1 &= \int_0^1 x^2 f(x)\, dx \\ &= \left.x^2 F(x)\right|_0^1 - 2 \int_0^1 x F(x)\, dx \\ &= 1 - 2 \int_0^1 x F(x)\, dx \\ 0 &= \int_0^1 x F(x)\, dx \end{align*} pero siempre podemos disminuir el $\int_0^1 F(x)$ y preservar $\int_0^1 x F(x)$ por la disminución de los valores de $F$ cerca de $x=0$ y el aumento de las mismas en menor cantidad cerca de $x = 1$ (construcción de un ejemplo claro se deja como ejercicio para el lector).