No estoy muy familiarizado con los grupos de Lie, pero quiero mostrar que el subgrupo de conmutadores de$SO(3)$ es en sí mismo. He buscado muchas fuentes diferentes, y me parece que casi todas requieren alguna noción de álgebra de Lie, por lo que me pregunto si es posible mostrar esto sin mucho conocimiento de los grupos de Lie.
Respuesta
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Usted puede mostrar directamente que el colector de un subgrupo de $SO(n)$$SO(n)$$n\ge 3$.
Ahora suponga $n\ge 3$. En general, sabemos que todas las $A \in SO(n)$ puede ser escrito como $A = P BP^T$ donde $P \in SO(n)$ $B$ es de bloque diagonal, con el bloque de la forma
$$E(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$$
Geométricamente, esto sólo significa que todos los $SO(n)$ elementos corresponde a las rotaciones de los dos aviones de la $L_1, L_2, \cdots$, donde cada una de las $L_i$'s son mutuamente ortogonales.
Ahora esto es suficiente para mostrar que $B$ encuentran en el colector de un subgrupo. Por inducción, es suficiente para mostrar que
$$C = \begin{bmatrix} E(\theta) & 0 \\ 0 & I_{n-2} \end{bmatrix}$$
se encuentra en el colector de un subgrupo. Es fácil mostrar que $E(\theta)$ puede ser escrito como $ABAB$ donde $A, B$ son reflejos. Entonces $A = A^{-1}$, $B= B^{-1}$ y por lo $E(\theta) = [A, B]$. Luego tenemos a $C = [\tilde A, \tilde B]$, donde
$$\tilde A = \begin{bmatrix} A & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & I_{n-3} \end{bmatrix} \in SO(n)$$
(Tenga en cuenta que $n\ge 3$ es utilizado de modo que usted puede escribir que $-1$. Esto es necesario como $\det A = -1$)
