¿Se puede regularizar todas las series divergentes?

Question

Las siguientes palabras reflejan mi entendimiento(primaria) de la divergencia de la serie. Primero se definen una serie infinita de la siguiente manera:

$L = \sum_{n=0}^{\infty}a_n \Leftrightarrow L = \lim_{k \rightarrow \infty} S_k.$

Donde $S_k$ es la suma parcial de la serie infinita de$a_0$$a_k$. Una serie cuyo límite existe, se dice ser convergente, si no, entonces se llama divergente.

Por esta antigua definición, de serie como:

$1-1+1-...$ $1+2+3+...$ son divergentes.

A continuación, tenemos la noción de regularización de la suma. Donde se busca una nueva definición para la serie infinita que nos permite asignar valores reales para algunos divergentes de la serie. También en la nueva definición de la serie que normalmente son convergentes en la definición $L = \sum_{n=0}^{\infty}a_n \Leftrightarrow L = \lim_{k \rightarrow \infty} S_k$, son convergentes según la nueva definición, y las dos definiciones de producir el mismo límite exacto $L$ para el que normalmente se convergente la serie. Aunque no estoy seguro de seguir, pero distinta de la suma de los métodos de asignar siempre el mismo valor para una divergentes de la serie(en caso de que se pueda asignar), por lo que el $1-1+1-...=1/2$ bajo Caesaro suma y Abel y cualquier otra suma que asignar un valor a dicha serie.

Además de eso, hay una serie como $1+2+3+...$ , que no son Caesaro o Abel summable, pero pueden resumirse en virtud de otros métodos como la zeta de regularización; Esto implica que una serie que no es summable bajo ciertas método de la sumación(decir Caesaro), puede ser summable bajo otros suma métodos(como la zeta).

Esto último me lleva a mi pregunta:

- ¿Cada divergentes de la serie de regularización? Es decir, por cada serie que no es summable bajo ciertas suma métodos, podemos encontrar un nuevo método de la sumación de que lo resume?

-Si la respuesta es sí a la última pregunta, entonces, ¿existe un método de la sumación de tal manera que puede sum(regularización) de cada uno de divergente la serie?

Answer 1

En el sentido más general, de una suma es una función parcial del conjunto de sumando las secuencias de a $\mathbb R$ (o $\mathbb C$). Esto suena como que podría asignar más o menos arbitraria, de los valores y si queremos que realmente podemos. Sin embargo, ciertas propiedades de sumatorias son los preferidos para celebrar, tales como

• La regularidad , es decir, nuestro método de la sumación debe ser una extensión de la norma -convergente-secuencia-de-parcial-resume el método de
• La linealidad es decir, si definimos $\sum a_n$ $\sum b_n$ entonces podemos definir $\sum(ca_n+b_n)$ $\sum(ca_n+b_n)=c\sum a_n+\sum b_n$
• La estabilidad de la $\sum a_n$ está definida si y sólo si $\sum a_{n+1}$ está definido y tenemos $\sum a_n=a_2+\sum a_{n+1}$

Para repetir: no toda suma de los métodos (ni siquiera todos los métodos en uso práctico) obaey los tres criterios. Pero si nos centramos en los métodos de obedecer a los tres, a continuación, de hecho, a menudo nos conseguir que ciertos (clásico) divergentes de la serie siempre se les asigna el mismo valor en cualquier método de la sumación. Por ejemplo, $\sum x^n=\frac1{1-x}$ sigue para todos los $x\ne 1$ donde definimos la suma por, simplemente jugando con la estabilidad y linealidad.

Entonces, ¿cómo de alto podemos tratar? Podemos usar el lema de Zorn para encontrar un máximo de regular, lineal, estable método de la sumación. Pero de "máxima" implica "total", es decir, que todas las series se han convertido en summable? Y la suma así obtenida se bien definida? Por desgracia, la respuesta a ambas preguntas es no. Esto ya puede ser ejemplificado con $\sum 1$, lo que ha de ser una solución de $\sum 1 = 1+\sum 1$ statbility. (De nuevo, usted tiene que ha leído que la regularización puede asignar $1+1+1+\ldots =-\frac12$; al parecer, esos métodos no son lineales o nopt estable ...)