La relación entre los coeficientes de función de Fourier$f$ y su continuidad.

Question

¿Cómo probar que si las series de función de Fourier$f$ convergen uniformemente, entonces la función es continua?

Answer 1

Tal vez lo que realmente busco es el siguiente

Lema Dada una secuencia $f_n$ de continuo complejo de valores de funciones definidas en un conjunto compacto $E$, $f_n$ converge uniformemente si y sólo si $\operatorname{Re}f_n$ $\operatorname{Im}f_n$ converge uniformemente.

Prueba A ver esto, acaba de tomar el supremum en la siguiente $$|\operatorname{Re}f_n(x) - \operatorname{Re}f(x)|^2\leq|f_n(x)-f(x)|^2=|\operatorname{Re}f_n(x) - \operatorname{Re}f(x)|^2+|\operatorname{Im}f_n(x) - \operatorname{Im}f(x)|^2$$ La parte imaginaria de la misma.

Así, el complejo de valores de la versión del teorema mencionado por M Turgeon, de la siguiente manera a partir de la versión real y viceversa.

Answer 2

En general, un límite uniforme de funciones continuas es continua (esto es demostrado en cualquier curso introductorio de análisis, y se mantiene en cualquier espacio métrico). Ahora, si la serie de Fourier de $f$ converge uniformemente a $f$, así pues, podemos concluir que el $f$ es continua. Sin embargo, en general, su serie de Fourier podría convergen uniformemente sin la convergencia de a $f$, por lo que su resultado, como se ha dicho, es falsa (por ejemplo, puede modificar su función en un conjunto de medida cero sin cambiar su serie de Fourier).