los últimos 2 dígitos de una secuencia

Question

$x+\frac{1}{x} = 3$, ¿cuáles son los últimos 2 dígitos de$x^{2^{2013}}+\frac{1}{x^{2^{2013}}}$?

Obteniendo el siguiente valor, tenemos que cuadrar y luego restar por 2, no tengo ni idea de ir al siguiente paso

Answer 1

Sin duda que ver el patrón : $x^{2m} + \frac 1{x^{2m}} = \left(x^m + \frac 1{x^m}\right)^2 - 2$ todos los $m \geq 1$.

Por lo tanto, si el valor en$m = 1$$3$, entonces el valor de a $m=2$$3^2 - 2 = 7$, $m=4$ $7^2 - 2 = 47$ etc.

Dado que sólo estamos viendo los últimos dos dígitos del número, también es suficiente para el seguimiento de los dos últimos dígitos del número en cada punto de tiempo, y ver si hay cualquier ciclo.

Sin embargo, un ciclo que ya es visible : en $m = 8$, obtenemos $47^2 = 2209 - 2 = 22\color{blue}{07}$, por lo que los últimos dos dígitos $07$. Para $m=16$, vamos a volver a conseguir $(07)^2 - 2 = 47$.

Por lo tanto, los dos últimos dígitos del número de la $x^{2^n} + \frac 1{x^{2^n}}$ $n = 1,2,3,...$ parece : $03,07,47,07,47,07,47,...$

Así que ahora, debería ser evidente que el término aparece en $n=2013$.

Answer 2

El truco es$$(a+1/a)^2= a^2 + 1/{a^2} +2

Eso es$$ a^2 + 1/{a^2}=(a+1/a)^2-2

Comenzando con 3 y trabajando mod$(100)$, el algoritmo dice:

PS

Ahora puedes terminar la solución.