¿El % de subespacios $(0,1)$y $[0,1)$ $\mathbb{R}$ isométrica?

Question

Son los subespacios $(0,1)$ $[0,1)$ $\mathbb{R}$ isométrica$?$

Creo que esto es falso, pero no puedo averiguar por qué.

Progreso. Veo que me puede quitar $0$ $[0,1)$ y esto crea un no-discontinuo conjunto. También veo cómo la eliminación de cualquier punto de $(0,1)$ crea un conjunto discontinuo y por lo tanto tenemos dos conjuntos con diferentes propiedades topológicas y por tanto, no homeomorphism puede existir entre los dos. Lo que no estoy seguro es de que ¿por qué no homeomorphism no implica la isometría.

Answer 1

El % de espacio $X:=(0,1)$tiene la siguiente propiedad: para todas las $x\in X$ hay puntos $u$, $v\in X$ $x$ $d(u,v)=d(u,x)+d(x,v)$ diferente.

Esto es violado por el % de espacio $Y:=[0,1)$.

Answer 2

Una isometría es un tipo especial de Homeomorfismo. Ya que has demostrado que los espacios no son homeomorfa, significa no hay Homeomorfismo existe entre ellos, entonces isometría no existe entre ellos, lo que significa que no son isométricas.

Answer 3

Que $f:(0,1)\rightarrow [0,1)$ sea un isometry, $$d(x,f^{-1}(0))=d(f(x),0)$ $ luego el $d(x,f^{-1}(0))=\epsilon$ de la ecuación tiene dos soluciones únicas en $(0,1)$ $\epsilon>0$ pero el $d(f(x),0)$ tiene una única solución en $[0,1)$.