Encontrar valores fijos para un proceso AR(2)

Question

Me ha dado el siguiente proceso AR(2):

$X_t + \phi1 X{t-1} + \phi2 X{t-2} = \epsilon_t$

y necesito averiguar para que valores de $\phi_2$ el proceso es estacionario, cuando he tenido que $\phi_1=-1/3$. Espero que alguien quizá me puede ayudar con esto, ya que no tengo ni idea acerca de dónde empezar.

Answer 1

Como se describe en esta respuesta, la determinación de si su AR(2) el proceso es estacionario se rompe a la pregunta de si todos (complejo) las raíces del polinomio $$p(z) = z^2 - \left(-\frac{1}{3}\right)z - \phi_2 $$

se encuentran dentro de la unidad de disco, es decir, tienen un absoluto menor que $1$. Se puede tomar desde aquí?

Vale la pena señalar que usted obtenga el polinomio por la transformación de la polinomio característico del proceso, pero me quedé a la formulación de la respuesta para la consistencia de la causa.

He aquí lo que me gustaría hacer (pero no una solución completa): El (posiblemente complejas soluciones de $p(z) = 0$ $$z_{\pm}=-\frac{1}{6}\pm \sqrt{\frac{1}{36}+\phi_2}.$$

Si $\phi_2 > -\frac{1}{36}$, ambas soluciones son reales. A continuación, $|z_+|<1$ fib $-1<z_+$$z_+<1$. Para $z_+ < 1$ considera

$$1 > -\frac{1}{6} + \sqrt{\frac{1}{36}+\phi_2} \Leftrightarrow \frac{7}{6}> \sqrt{\frac{1}{36}+\phi_2} \Leftrightarrow \frac{4}{3} >\phi_2.$$

Además, si es real, $z_+$ es siempre positivo. Por lo tanto, $z_+$ se encuentra en el interior del disco si $\phi_2 > \frac{4}{3}$. Del mismo modo, $z_-$ necesita ser considerado. Y llegamos a una pueden admitirse conjunto para $\phi_2$.

Si $\phi_2 < -\frac{1}{36}$, entonces el solitions son complejos y la forma en que yo escribía no es preciso, sino más bien

$$z_{\pm}=-\frac{1}{6}\pm i \sqrt{-\frac{1}{36}-\phi_2}.$$

Aquí, $z_+$ $z_-$ son complejas conjugadas y tenemos $|z_+|^2=|z_-|^2=z_+z_-$. Así que se encuentran en la unidad de disco iff

$$1> |z_+|^2 = \frac{1}{36} +(-\frac{1}{36} -\phi_2)=-\phi_2,$$

es decir, si $\phi_2 > -1$. Tenemos otro pueden admitirse conjunto para $\phi_2$: el intervalo abierto $(-1,-1/36)$.

Teniendo en cuenta que para $\phi_2 = -1/36$ tenemos que $z_+=z_-=-1/6$ que está dentro de la unidad de disco, se puede modificar ese conjunto de a $(-1,-1/36]$.