Integral de Fourier de valor complejo:$ \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{\cos (ax)}}{{{x^2} + 1}}{e^{ - ibx}}\,\mathrm dx} $

Question

Estoy trabajando en la transformada de Fourier, pero no sé cómo evaluar la integral:

PS

Answer 1

La integral se puede escribir como la parte real de

$$\int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{e^{i (a-b) x}}{1+x^2}$$

Esto puede ser evaluado utilizando los residuos de la teoría. Considere la siguiente integral de contorno en el plano complejo:

$$\oint_C dz \frac{e^{i (a-b) z}}{1+z^2}$$

donde $C$ es el semicírculo de radio $R$ alineado con el eje real y se extiende en la mitad superior del plano -. El contorno de la integral es igual a

$$\int_{-R}^R dx \frac{e^{i (a-b) x}}{1+x^2} + i R \int_0^{\pi} d\phi\, e^{i \phi} \frac{e^{i (a-b)R \cos{\phi}} e^{-(a-b) R \sin{\phi}}}{1+R^2 e^{i 2 \phi}}$$

Como $R \to \infty$, la segunda integral es delimitada por

$$\frac{1}{R} \left | \int_0^{\pi} d\phi \, e^{-(a-b) R \sin{\phi}}|\right |\le \frac{2}{R} \left | \int_0^{\pi/2} d\phi \, e^{-2(a-b) R\phi /\pi}| \right |\le \frac{\pi}{(a-b)R^2}$$

donde hemos utilizado la desigualdad $\sin{\phi} \ge 2 \phi/\pi$$\phi \in [0,\pi/2]$. Tenga en cuenta que esta integral converge sólo al $a>b$. Vamos a considerar el caso de $a<b$ poco. En cualquier caso, esta integral se desvanece como $R \to \infty$.

El contorno de la integral es igual a $i 2 \pi$ veces la suma de los residuos de los polos dentro de $C$. El único polo dentro de$C$$z=i$; este polo ha residuo

$$\frac{e^{-(a-b)}}{2 i}$$

así que ahora tenemos

$$\int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{e^{i (a-b) x}}{1+x^2} = \pi e^{-(a-b)}$$

al $a>b$. Al $a<b$, podemos utilizar el semicírculo en la parte inferior de la mitad de plano. Para recorrer $C$ en un sentido positivo, es necesario ir a lo largo de la línea real de derecha a izquierda, por lo que el resultado de $a<b$ es

$$\int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{e^{i (a-b) x}}{1+x^2} = \pi e^{a-b}$$

Poniendo todo esto junto, y tomando la parte real de la integral, tenemos finalmente la

$$\int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{\cos{a x}}{1+x^2} e^{i b x} = \pi e^{-|a-b|}$$

Answer 2

Sugerencia: use la identidad$\cos(ax)=\frac{e^{iax}+e^{-iax}}{2}$ y el hecho de que la transformada de Fourier de$\frac{1}{1+x^2}$ es

PS

Para evaluar la última integral, vea el primer ejemplo aquí . Es un ejemplo resuelto.