Tengo algunas dificultades en la comprensión de la notación de los modelos de regresión multinivel. Consideremos, por ejemplo, una variable intercepto y la variación de la pendiente del modelo con un solo nivel-I predictor. Tenemos:
Modelo de nivel I: $y_{ij}=\beta _{0j}+\beta _{1j}x_{ij}+\epsilon _{ij}$
Modelo de nivel II:
$\beta _{0j}=\gamma _{00}+u_{0j}$
$\beta _{1j}=\gamma _{10}+u_{1j}$
Modelo combinado: $y_{ij}=\gamma _{00}+\gamma _{10}x_{ij}+u_{0j}+u_{1j}x_{ij}+\epsilon _{ij}$
donde:
$\gamma _{00},\gamma _{10}$ son fijos
$u_{0j}\sim N(0,\sigma _{\beta_{0}}^{2})$
$u_{1j}\sim N(0,\sigma _{\beta_{1}}^{2})$
$\epsilon _{ij} \sim N(0,\sigma _{\epsilon}^{2})$
$\epsilon _{ij} \bot u_{0j}$
$\epsilon _{ij} \bot u_{1j}$
$\beta _{0j}\sim N(\gamma _{00},\sigma _{\beta_{0}}^{2})$
$\beta _{1j}\sim N(\gamma _{10},\sigma _{\beta_{1}}^{2})$
$Cov(\beta _{0j},\beta _{1j})= \rho \sigma _{\beta_{0}}\sigma _{\beta_{1}}$
$Var(y_{ij} |x_{ij})=\sigma _{\beta_{0}}^{2}+x_{ij}^{2}\sigma _{\beta_{1}}^{2}+2\rho \sigma _{\beta_{0}}\sigma _{\beta_{1}}x_{ij}+\sigma _{\epsilon}^{2}$
$Var(y_{ij} |x_{ij})=\sigma _{y_{i}}^{2}$
Ahora mi pregunta es la siguiente: ¿cuál de estas notaciones son correctas y por qué?
1) $y_{ij}\sim N(\beta _{0j}+\beta _{1j}x_{ij}, \, \sigma _{\epsilon}^{2})$
2) $y_{ij}\sim N(\beta _{0j}+\beta _{1j}x_{ij}, \, \sigma _{y_{i}}^{2})$
3) $y_{ij} | \beta _{0j},\beta _{1j}\sim N(\beta _{0j}+\beta _{1j}x_{ij}, \, \sigma _{\epsilon}^{2})$
4) $y_{ij}\sim N(\gamma _{00}+\gamma _{10}x_{ij},\,\sigma _{\epsilon}^{2})$
5) $y_{ij}\sim N(\gamma _{00}+\gamma _{10}x_{ij},\,\sigma _{y_{i}}^{2})$
El hecho es que yo no lo hago ahora, si en el nivel individual se debería considerar la posibilidad de $\beta _{0j}$ $\beta _{1j}$ fijo o no. Así que no sé si debo añadir que el plazo de la varianza entre la varianza o no.
Gracias.
