¿Innumerables subconjunto de un espacio separable es separable?

Question

Tengo que probar que cualquier incontable $B\subseteq \mathbb{R}$, donde $(\mathbb{R},\epsilon^1)$ es topología euclídea y topología en B es relativa, es separable. Y sé que es verdad porque cada subconjunto del espacio métrico separable es separable.

Pero qué pasa si se nos da espacio separable $(X,\tau)$ $X$ innumerables y $A \subseteq X$ innumerables subconjunto con topología relativa. Es $(A,\tau_A)$ separable y si es, ¿cómo probarlo?

Answer 1

Considere el plano de Niemytzki (o Moore). Este espacio es separable (la familia de puntos con ambas coordenadas racionales es densa), pero el #% eje $x$ #% es un subconjunto discreto cerrado innumerables (y así $A = { \langle x , 0 \rangle : x \in \mathbb{R} }$ con la topología de subespacio es discreta y por lo tanto, no es separable).

Answer 2

Otro ejemplo es este；

Deje $ \omega$ el valor infinito contable cardenal y $\mathcal E \subset [\omega]^\omega$ es una máxima casi la desunión de la familia, donde $[\omega]^\omega = \{ A \subset \omega: |A| = \omega \}$. Deje $\Psi(\mathcal E)$ denotar el espacio topológico cuyo punto es $\omega \cup \mathcal E$, con la topología generada por aislar cada una de las $\alpha \in \omega$, y la base de nbhds acerca de $E \in \mathcal E$ son todos los conjuntos de la forma $\{E\}\cup (E\setminus F)$ donde $F \in [E]^{< \omega}$. Esto nos puede llamar $\Psi$ espacio.

Reclamo: es separable. Sin embargo, el subespacio $\mathcal E$ $\Psi$ es incontable cerrado discretos, y por lo tanto no es separeblae.

Answer 3

El plano de Sorgenfrey es otro ejemplo. Es un espacio separable, pero la línea antidiagonal {⟨x,-x⟩:x∈R} es discreta e incontables.