$\mathbb{F}_p[X]/(X^2+X+1)$ es un campo si $p \equiv 2 \bmod 3$

Question

Dejemos que $p$ sea un primo. Demostrar que $\mathbb{F}_p[X]/(X^2+X+1)$ es un campo si $p \equiv 2\bmod3$ .

Así que:

Si $p \equiv 2 $ mod $ 3$ Tengo que demostrar que cada elemento de $\mathbb{F}_p[X]/(X^2+X+1)$ tiene un inverso.

Si $\mathbb{F}_p[X]/(X^2+X+1)$ es un campo que tengo que mostrar $p \equiv 2 $ mod $ 3$ .

Answer 1

Una pista: Las raíces de $x^2+x+1$ en $\mathbb{C}$ son las raíces cúbicas no triviales de la unidad. ¿Cuándo $\mathbb{F}_p$ tienen raíces cúbicas no triviales de la unidad? (Piensa en el orden del grupo multiplicativo $\mathbb{F}_p^\times$ .) Si el polinomio $x^2+x+1$ factores no triviales, ¿qué implicaría eso sobre $\mathbb{F}_p[x]/(x^2+x+1)$ ? (Piensa en los divisores de cero).

Por otro lado, si no hay raíces cúbicas de la unidad en $\mathbb{F}_p$ entonces $x^2+x+1$ es irreducible (ya que él mismo es sólo un grado $2$ polinomio, sólo puede factorizar en grado $1$ polinomios si tiene factores, y si no hay raíces entonces no puede tener factores de grado $1$ ). Dado que $\mathbb{F}_p[x]$ es un PID, esto implica que el ideal $(x^2+x+1)$ es máxima, por lo que $\mathbb{F}_p[x]/(x^2+x+1)$ es un campo.