La representación de permutación de Sn es Cn con elementos de Sn permutando los vectores base {e1,e2,…,en} . Tiene una subrepresentación trivial abarcada por el vector v=∑iei . Por el teorema de Maschke existe una subrepresentación del complemento (dada por la condición ∑ixi=0 , donde xi es la coordenada i). Esta última representación (la representación estándar de Sn ) es irreducible. ¿Por qué?
Si probamos con caracteres, podemos obtener lo siguiente: denotemos la representación estándar por V (dimensión n-1), y la representación de permutación completa por Perm . Entonces Perm=V⊕Triv, donde esta última es la representación trivial. Esto significa que χV(g)=|Xg|−1 y ⟨χV,χV⟩=1|G|∑(|Xg|−1)2|C(g)|=1+1|G|∑(|Xg|2−2|Xg|)|C(g)|, donde X={1,2,…,n} y Xg es el conjunto de puntos fijos de la permutación g∈Sn y C(g) es la clase de conjugación de g . La suma se realiza sobre todas las clases de conjugación de Sn .
Ahora, como sé que V es irreducible, la última suma debe ser cero. No veo, sin embargo, por qué debería ser así.
¿Quizás exista una prueba directa o de irreductibilidad?
Gracias.