Irreductibilidad de la representación estándar de $S_n$ .

Question

La representación de permutación de $S_n$ es $\mathbb C^n$ con elementos de $S_n$ permutando los vectores base $\{e_1, e_2, \ldots, e_n\}$ . Tiene una subrepresentación trivial abarcada por el vector $v = \sum_i e_i$ . Por el teorema de Maschke existe una subrepresentación del complemento (dada por la condición $\sum_i x_i = 0$ , donde $x_i$ es la coordenada i). Esta última representación (la representación estándar de $S_n$ ) es irreducible. ¿Por qué?

Si probamos con caracteres, podemos obtener lo siguiente: denotemos la representación estándar por $V$ (dimensión n-1), y la representación de permutación completa por $Perm$ . Entonces $$Perm = V\oplus Triv,$$ donde esta última es la representación trivial. Esto significa que $\chi_V(g) = |X^g| - 1$ y $$\langle\chi_V, \chi_V\rangle = \frac{1}{|G|}\sum(|X^g|-1)^2|C(g)| = 1+\frac{1}{|G|}\sum (|X^g|^2 - 2|X^g|)|C(g)|,$$ donde $X = \{1,2,\ldots, n\}$ y $X^g$ es el conjunto de puntos fijos de la permutación $g\in S_n$ y $C(g)$ es la clase de conjugación de $g$ . La suma se realiza sobre todas las clases de conjugación de $S_n$ .

Ahora, como sé que $V$ es irreducible, la última suma debe ser cero. No veo, sin embargo, por qué debería ser así.

¿Quizás exista una prueba directa o de irreductibilidad?

Gracias.

Answer 1

La pregunta parece haber sido respondida en los comentarios, por lo que publico esta respuesta de CW, para que no queda sin respuesta .

Qiaochu publicó un enlace a este hilo de MO donde se puede encontrar una prueba con caracteres. También mencionó que hay una solución sencilla que no utiliza caracteres, lo cual es un buen ejercicio; así que tal vez quieras intentar hacer la prueba tú mismo. He intentado escribir esta solución sencilla en una respuesta a otra pregunta.

Answer 2

Otra buena prueba es el siguiente hecho:

si un grupo finito $G$ actúa sobre un conjunto $X$ de forma bi-transitiva, entonces la representación obvia de $G$ en el espacio vectorial con $X$ tiene una base es irreducible,

cuya prueba, a su vez, dejaré como ejercicio.

Answer 3

Llego tarde a esto, pero vale la pena señalar que hay una interesante prueba por inducción que evita caracteres y demás, "desde cero", en Hernández-Lamoneda, L.; Juárez, R.; Sánchez-Sánchez, F. Disección de soluciones en teoría de juegos cooperativos mediante técnicas de representación. Internat. J. Game Theory 35 (2007), no. 3, 395-426.

Dejemos que $\mathbb{R}^n$ ser generado por $\{e_i\}_{1\leq i\leq n}$ . Básicamente, cuando $n=2$ está claro que $V$ es irreducible, así que dejemos que $n>2$ y utilizar la inducción. Nótese que el subgrupo que fija $e_n$ es (isomorfo a) $S_{n-1}$ , por lo que la representación de permutación de de ese subgrupo (por inducción) se descompone como se desea. Entonces se vuelve a mirar la representación estándar bajo $S_n$ y observe que si fuera reducible, sus subespacios invariantes también serían invariantes bajo $S_{n-1}$ y por lo tanto se descomponen en los subespacios específicos dados por inducción. Pero esos subespacios no son $S_n$ -módulos, por lo que no es reducible.

No tengo ni idea de si esto es original de este documento, ni de si hay algo un poco incompleto en ese último paso, que de alguna manera parece sospechoso (pero prefiero usar caracteres, así que no suelo hacer tales argumentos). Lo que sí me gusta es que no utiliza muchas herramientas pesadas, y que utiliza la inducción.