La representación de permutación de $S_n$ es $\mathbb C^n$ con elementos de $S_n$ permutando los vectores base $\{e_1, e_2, \ldots, e_n\}$ . Tiene una subrepresentación trivial abarcada por el vector $v = \sum_i e_i$ . Por el teorema de Maschke existe una subrepresentación del complemento (dada por la condición $\sum_i x_i = 0$ , donde $x_i$ es la coordenada i). Esta última representación (la representación estándar de $S_n$ ) es irreducible. ¿Por qué?
Si probamos con caracteres, podemos obtener lo siguiente: denotemos la representación estándar por $V$ (dimensión n-1), y la representación de permutación completa por $Perm$ . Entonces $$ Perm = V\oplus Triv, $$ donde esta última es la representación trivial. Esto significa que $\chi_V(g) = |X^g| - 1$ y $$ \langle\chi_V, \chi_V\rangle = \frac{1}{|G|}\sum(|X^g|-1)^2|C(g)| = 1+\frac{1}{|G|}\sum (|X^g|^2 - 2|X^g|)|C(g)|, $$ donde $X = \{1,2,\ldots, n\}$ y $X^g$ es el conjunto de puntos fijos de la permutación $g\in S_n$ y $C(g)$ es la clase de conjugación de $g$ . La suma se realiza sobre todas las clases de conjugación de $S_n$ .
Ahora, como sé que $V$ es irreducible, la última suma debe ser cero. No veo, sin embargo, por qué debería ser así.
¿Quizás exista una prueba directa o de irreductibilidad?
Gracias.
