Integral relacionado con $\sum\limits_{n=1}^\infty\sin^n(x)\cos^n(x)$

Question

Jugando en Mathematica, encontré lo siguiente:

$$\int0^\pi\sum{n=1}^\infty\sin^n(x)\cos^n(x)\ dx=0.48600607\ldots =\Gamma(1/3)\Gamma(2/3)-\pi.$$

Tengo curiosidad... ¿Cómo podría uno derivar esto?

Answer 1

De risas:

$$\begin{align} \sum_{n=1}^\infty\int0^\pi \sin^n u\,\cos^n u\;\mathrm du&=\sum{n=1}^\infty\frac1{2^n}\int0^\pi \sin^n 2u\;\mathrm du\ &=\frac12\sum{n=1}^\infty\frac1{2^n}\int0^{2\pi} \sin^n u\;\mathrm du\ &=\frac12\sum{n=1}^\infty\frac1{2^{2n}}\int0^{2\pi} \sin^{2n} u\;\mathrm du\ &=2\sum{n=1}^\infty\frac1{2^{2n}}\int0^{\pi/2} \sin^{2n} u\;\mathrm du\ &=\pi\sum{n=1}^\infty\frac1{2^{4n}}\binom{2n}{n}=\pi\sum_{n=1}^\infty\frac{(-4)^n}{16^n}\binom{-1/2}{n}\ &=\pi\left(\frac1{\sqrt{1-\frac14}}-1\right)=\pi\left(\frac2{\sqrt 3}-1\right) \end{align} $$

donde la rareza de la función seno fue utilizado en la tercera línea para quitar cero términos, la fórmula de Wallis y el binomio identidad $\dbinom{2n}{n}=(-4)^n\dbinom{-1/2}{n}$ fueron utilizados en la quinta línea, después de lo cual finalmente reconocemos la serie binomial y evaluar en consecuencia.

Por supuesto, es mucho más compacta solución de Alex...

Answer 2

Creo que usted está haciendo esto mucho más difícil que tiene que ser. Desde $|\sin(x)\cos(x)|

$$\sum_{n=1}^{\infty}(\sin(x)\cos(x))^n=\frac{\sin(x)\cos(x)}{1-\sin(x)\cos(x)}=\frac{\sin(2x)}{2-\sin(2x)}$$

Y sólo puede encontrar en calc normal que

$$\int \frac{\sin(2x)}{2-\sin(2x)}\mathrm dx=-\left(x+\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{1-2\tan(x)}{\sqrt{3}}\right)\right)$$