Demostrar que $\mathbb P(X>Y) =\frac{b}{a + b}$el % si $X, Y$ se distribuye exponencialmente con parámetros $a$ y $b$.

Question

<blockquote> <p>Que $X, Y$ ser una exponencial distribuido variables al azar con parámetros $a, b$. Entonces $X$ pdf: $$f_X(x) =\begin{cases} a e^{-a x},& x\geq 0\\ 0,& \text{otherwise}.\end{casos} $$ Suppose $X $ and $Y $ independent. Show that $% $ $\mathbb P(X>Y) = \frac{b}{a+b}.$</p> </blockquote> <p>Ahora pensé lo siguiente: $$f(x,y) = f_X(x)\ f_Y(y) = abe^{-ax -by},\qquad\text{for } x,y > 0.$ $ y entonces $$\mathbb P(X>Y) = \int_0^\infty \int_0^x a b e^{-ax -by}\,dydx$ $ sin embargo, si resuelve esto (manualmente o usando Wolframalpha), parece que no puedo terminar con $\frac{b}{a+b}$. ¿Alguna idea?</p>

Answer 1

\begin{align} P(X>Y) &= \int{0}^\infty\int{0}^x abe^{-ax}e^{-by}\,dydx\ &=\int_0^\infty ae^{-ax}\left[\int_0^xbe^{-by}\,dy\right]\,dx\tag 1\ &=\int_0^\infty ae^{-ax}\left(1-e^{-bx}\right)\,dx\ &=\int_0^\infty ae^{-ax}-a e^{-(a+b)x}\,dx\tag 2\ &=1-\frac{a}{a+b}\int_0^\infty(a+b)e^{-(a+b)x}\,dx\tag 3\ &=\frac{a+b-a}{a+b}\&=\frac{b}{a+b}. \end{align} donde en

1. Reconozco el interior integral como el cdf de $Y$
2. La izquierda integral es la integral de una densidad por lo que es $1$ y
3. Hacer el integrando una densidad multiplicando y buceo por el factor $a+b$ para que sea igual a $1$.

Answer 2

Hay un enfoque alternativo ver esta referencia , determinando primero el pdf de $X-Y$ (o buscar en tablas)

$$f(x) = \frac{ab}{a+b} \begin{cases}e^{b x} & \text{if} \ x \leq 0\\ e^{-a x} & \text{if} \ x \geq 0 \end{casos} \ \ \ (*)$$

Observaciones:

1) la curva de $f$ es en forma de carpa (véase la figura a continuación para el caso de $a=3$$b=1$).

2) un particular, bien conocido el caso de (*), es para $a=b$, el llamado doble exponencial $f(x)=\frac{1}{2}e^{-|x|}$.

A continuación, el resultado es

$$\int_{x=0}^{\infty}f(x)dx=\int_{x=0}^{\infty}\frac{ab}{a+b}e^{-ax}dx=\frac{ab}{a+b}\frac{1}{a}=\frac{b}{a+b}.$$