Con radicales simplificando de problemas de este tipo

Question

Estoy estudiando los radicales y exponentes racionales. Estoy teniendo muchas dificultades con los problemas de este tipo: probar $$\sqrt{43+24\sqrt{3}}=4+3\sqrt{3}$ $ me sigue saliendo alrededor de y alrededor experimentando con factoring. Parece que no puedo poder probar éste en particular. ¿Faltan las prácticas comunes en lo que respecta a estos problemas y así complicar aún más? ¿Hay alguna cosa en particular que debo tener siempre en mente, o es solo falta de práctica?

Answer 1

Nuestro objetivo es completar el cuadrado bajo el signo radical, tratar el primer término (43) como la suma de cuadrados $a^2+b^2$ y el segundo término ($24\sqrt{3}$) como $2ab$.

\begin{eqnarray}\sqrt{43+24\sqrt{3}} &=&\sqrt{43+2\cdot 4\cdot 3\sqrt{3}} \&=&\sqrt{16+2\cdot 4\cdot 3\sqrt{3}+27}\ &=&\sqrt{(4+ 3\sqrt{3})^2}\&=&4+ 3\sqrt{3} \end{eqnarray}

Answer 2

Sugerencia: Cuadrado ambos lados $$ (\sqrt{43 + 24 \sqrt{3}})^2 = 16 + 9(3) + 24 \sqrt{3},$ $ $$ 43 + 24 \sqrt{3} = 43 + 24\sqrt{3}.$ $

Nota $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Answer 3

A partir de $$\sqrt{43+24\sqrt{3}}=4+3\sqrt{3}$ $ te puede cuadrado ambos lados para obtener $$\begin{eqnarray} 43+24\sqrt{3} & = & (4+3\sqrt{3})^2 \ & = & (4+3\sqrt{3})(4+3\sqrt{3}) \ & = & 16+12\sqrt{3}+12\sqrt{3}+27 \ & = & 43+24\sqrt{3} \ \end{eqnarray} $$

Answer 4

Sugerencia: en general, pueden resolver problemas tales como: $$\sqrt { a\pm 2\sqrt { b } } =\sqrt { m } \pm \sqrt { n } $$ where is $ \ \ \\begin{cases} a=m+n \ b=mn \end{casos} $

Answer 5

El OP quiere una estricta prueba de la declaración, en lugar de cómo obtenerlo. Con el fin de demostrar una ecuación, tenemos que: 1) ir de un lado a otro, o 2) empezar con un trivialmente verdadera declaración (ecuación) y proceder a la reclamación. Me decidí por la segunda:

$$4+3\sqrt{3}=4+3\sqrt{3}\\ (4+3\sqrt{3})^2=(4+3\sqrt{3})^2\\ (4+3\sqrt{3})^2=43+24\sqrt{3}\\ 4+3\sqrt{3}=\sqrt{43+24\sqrt{3}} $$

Por lo tanto, la reclamación.

Observe que elegimos positivo de la raíz, ya que sabemos $4+3\sqrt{3}$ es un número positivo.