Compacidad del grupo de mentira de generadores

Question

Consideremos el Poincaré álgebra, que se caracteriza por los siguientes conmutadores: \begin{align} [H,P_i]&=0\\ [H,K_i]&=P_i\\ [P_i,P_j]&=0\\ [K_i,K_j]&=-\epsilon_{ijk}J_k\\ [P_i,K_j]&=\delta_{ij}H\\ [J_i,J_j]&=\epsilon_{ijk}J_k\\ [J_i,K_j]&=\epsilon_{ijk}K_k\\ [J_i,P_j]&=\epsilon_{ijk}P_k\\ [J_i,H]&=0 \end{align} Cómo podía yo saber - utilizando el álgebra sólo - si el subgrupo generado por la $K_i$ generadores, es compacta o no? Hay un criterio para establecer la compacidad?

Mi comprensión de un grupo compacto está relacionado con la noción de delimitada y conjuntos conectados. Por ejemplo, el grupo de Lorentz tiene cuatro desconectado piezas, por lo que no es un grupo compacto.

Answer 1

Como Cosme Zachos sugerencias en los comentarios, no Abelian Mentira álgebra pertenece a un compacto de Lie del grupo si su Asesinato formulario de $K(X;Y) = \mathrm{tr}(\mathrm{ad}_X\circ \mathrm{ad}_Y)$ es negativa definida, cf. también compacto Mentira álgebra donde se puede encontrar una lista completa de todos los compactos de álgebras de Lie. La razón de esto es que un no-degenerada de la Matanza de forma induce a un Levi-Civita de conexión de $\nabla_X Y = \frac{1}{2}[X,Y]$ en la Mentira de grupo con la curvatura de Ricci $-\frac{1}{4}K(X,Y)$, que está delimitada por debajo de si la Matanza forma es negativa definida y por lo tanto la Mentira de grupo es compacto por Bonnet-Myers. Tenga en cuenta que un negativo semidefinite la Matanza de forma, es decir, que es degenerado, podrá pertenecer o no a un compacto de Lie del grupo.

(Des)conexión no tiene nada que ver con el suyo - el grupo de Lorentz no es compacto y tiene cuatro componentes conectados, pero ya la identidad de los componentes, la adecuada orthochronous grupo de Lorentz, no es compacto. La compacidad y la conexión son diferentes y no relacionadas propiedades topológicas.

Answer 2

Ya hay una buena respuesta por ACuriousMind. Aquí queremos destacar algunos hechos importantes.

1. Deje que se dé una $n$-dimensional real Mentira álgebra$$\mathfrak{g}~=~{\rm span}_{\mathbb{R}}\{t_a\mid a=1,\ldots, n\}, \tag{M1}$$ donde$^1$ $$[t_a,t_b] ~=~\underbrace{f_{ab}{}^{c}}_{\in\mathbb{R}}~ t_c.\tag{M2}$$

2. Supongamos que el $t_a$'s son los generadores de una fiel finito-dimensional de la representación lineal de la Mentira de álgebra, cf. Ado del teorema.

3. La mentira del tercer teorema (más precisamente Mentira-Cartan del teoremagarantiza la existencia de un correspondiente conectado y simplemente conectados a la Mentira de grupo $G$, de tal forma que su Mentira álgebra es $\mathfrak{g}$. En un barrio de la identidad, la Mentira de grupo es reconstruido por el exponencial mapa $$ \exp(\mathfrak{g})~\subseteq~ G \tag{M3}.$$

4. Pura Mentira grupo/álgebra, la teoría no introducir la noción de hermitian conjugación. Sin embargo, esta estructura es a menudo presente en la física. Si $t_a=-t^{\dagger}_a$ es anti-Hermitian, corresponde a un compacto de dirección; mientras que si $t_a=t^{\dagger}_a$ es Hermitian, corresponde a una no-compacto dirección.

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$^1$ Ser conscientes de que en gran parte de la física de la literatura, hay un factor adicional de la unidad imaginaria $i$ en varios lugares, por ejemplo, $$[t_a,t_b] ~=~i~\underbrace{f_{ab}{}^{c}}_{\in\mathbb{R}}~ t_c,\tag{P2}$$ y $$ \exp(i\mathfrak{g})~\subseteq~ G \tag{P3}.$$ En particular, si $t_a=t^{\dagger}_a$ es Hermitian, corresponde a un compacto de dirección; mientras que si $t_a=-t^{\dagger}_a$ es anti-Hermitian, corresponde a una no-compacto dirección.