La subcategoría completa de la categoría abeliana es abeliana.

Question

Estoy tratando de entender una prueba en Rotman "Introducción al Álgebra Homológica', la Proposición 5.92, p.310.

La proposición: Vamos a $\mathcal S$ ser una subcategoría de un abelian categoría $\mathcal A$. Si, para todos los $A, B \in \text{obj}(\mathcal S)$ y todos los $f : A \to B$,

1. un objeto de cero en $\mathcal A$ se encuentra en $\mathcal S$,
2. la suma directa de $A \oplus B$ $\mathcal A$ se encuentra en $\mathcal S$,
3. tanto en $\text{ker } f$ $\text{coker } f$ mentira en $\mathcal S$,

a continuación, $\mathcal S$ es un abelian categoría.

La definición de abelian categoría que está siendo utilizado: Una categoría $\mathcal C$ es un abelian categoría si es un aditivo categoría que

1. todos los morfismos tiene un núcleo y cokernel
2. cada monomorphism es un kernel y cada epimorphism es un cokernel.

Aquí está la prueba dada en el libro:

La hipótesis de da $\mathcal S$ de aditivo, por lo $\mathcal S$ es abelian si axioma 2 en la definición de abelian categoría de titular. Si $f : A \to B$ es un monomorphism en $\mathcal S$,$\text{ker } f = 0$. Pero $\text{ker } f$ es el mismo en $\mathcal A$$\mathcal S$, por hipótesis, de modo que $f$ es monic en $\mathcal A$. Por hipótesis, $\text{coker } f$ es una de morfismos en $\mathcal S$. Como $\mathcal A$ es abelian, hay un morfismos $g : B \to C$$f = \text{ker } g$. Pero $g$ es una de morfismos en $\mathcal S$, debido a $\mathcal S$ contiene cokernels, y por lo $f = \text{ker } g$$\mathcal S$.

Entiendo que $\text{coker } f$ es una de morfismos en $\mathcal S$.

También entiendo que desde $\mathcal A$ es abelian, existe una morfismos $g : B\to C$ $f = \text{ker } g$ (este es el segundo axioma de la definición de abelian categoría que se aplica a $\mathcal A$).

No entiendo cómo estos dos elementos están conectados, pero de la manera en que él los está usando, parece que él está asumiendo $g = \text{coker } f$. No veo cómo esto sigue, ya que estamos sólo, dado que no existe una función de $g$$\mathcal A$$f = \text{ker } g$.

La pieza principal de la prueba que no entiendo es la línea "Pero $g$ es una de morfismos en $\mathcal S$, debido a $\mathcal S$ contiene cokernels".

Comprendo $\mathcal S$ contiene cokernels, pero no entiendo por que implica que $g$$\mathcal S$, a menos que $g$ es un cokernel de un morfismos en $\mathcal S$. Mi conjetura es que $g = \text{coker } f$, pero soy incapaz de mostrar esto. (He intentado usar la definición de cokernel como la solución para el universal problema de asignación para mostrar que $g = \text{coker }f$, específicamente mostrando dominio y codominio son los mismos, o su equivalente, pero no ha llegado a mí en cualquier lugar).

También, como un lado de la cuestión: el primer axioma de la propuesta de declaración parece fuera de lugar. Creo que debe ser antes de que: "Si, para todos los $A, B$...". La correcta?

Answer 1

Simplemente no seguir ese $g$ es una de morfismos en $S$. Por ejemplo, $A$ podría ser la categoría de abelian grupos, $S$ podría ser la subcategoría de finitely generado abelian grupos, y el destino de $g$ podría ser infinitamente generado abelian grupo.

Pero la prueba es muy fácil de reparar: basta con definir $g = \text{coker}(f) \in A$ en el primer lugar. Entonces, en el hecho de que contamos $g \in S$, lo $\text{ker}(g) \in S$. Ahora, una característica clave de la plena subcategorías $S$ es que ningún tipo de límites o colimits, en $A$ $S$valores de los diagramas de que ocurra a la tierra en $S$ debe ser, de hecho, los límites o colimits en $S$: es decir, las inclusiones de lleno subcategorías reflejan los límites y colimits. Debido a $f = \text{ker}(g)$$A$, se deduce que el $f = \text{ker}(g)$$S$, así que $f$ es un kernel. Del mismo modo para epimorphisms.