Mostrando que $p^n(1-p) \leq \frac{1}{en}$

Question

Estoy leyendo un papel y encontré la siguiente Lema sin una prueba.

Deje que$X_1, \ldots, X_{n+1}$ sean variables aleatorias independientes de Bernoulli, donde$\Pr[X_i = 1] = p$. Deje que$E$ sea el evento de que las primeras$n$% variables son todas$1$, pero el$X_{n+1}$ es$0$. Entonces $\Pr[E] \leq \frac{1}{en}$.

Entiendo que $\Pr[E] = p^n(1-p)$. Cómo es que $p^n(1-p) \leq \frac{1}{en}$?

Answer 1

Usando AM-GM para la primera desigualdad a continuación, tenemos $$ p ^ n (1-p) = n ^ n \ left [(p / n) ^ n (1-p) \ right] \ leq n ^ n \ izquierda (\ frac {1} {n +1} \ derecha) ^ {n +1} = \ frac {1} n \ izquierda (1- \ frac {1} {n +1} \ derecha) ^ {n +1} <\ frac {1} {ne}. $$ La segunda desigualdad usa el hecho de que$a_n=(1-1/n)^n$ aumenta en$n$ y converge a$1/e$ como$n\to\infty$.

Answer 2

Maximiza la función$f(p) = p^n (1-p)$. El máximo es de$p = p_0 = n/(n+1)$, donde$$f(p_0) = \dfrac{n^n}{(n+1)^{n+1}}$ $ La declaración de que$f(p_0) \le 1/(en)$ es equivalente (después de tomar logaritmos) a$$ \ln \left( 1 + \dfrac{1}{n}\right) \ge \dfrac{1}{n+1} \ \text{for}\ n \ge 1$ $ Con$n = 1/t$, esto se convierte en$$ \ln(1 + t) \ge \dfrac{t}{1+t} = 1 - \dfrac{1}{1+t} $ $ que es realmente cierto para todos los$t \ge 0$. Tenga en cuenta que ambos lados son iguales para$t = 0$ y los derivados$$ \dfrac{1}{1+t} \ge \dfrac{1}{(1+t)^2}\ \text{for}\ t \ge 0$ $