¿Qué es el grupo generado por la clase de GACION que contiene $(12\ldots n)$ $S_n$?

Question

Esta pregunta está motivada por esta respuesta a una pregunta acerca de los grupos generados por las clases conjugacy.

Deje $n \geq 1$ $S_n$ ser el grupo simétrico de a $\{1,2,\ldots,n\}$. Definir la n-ciclo de $\alpha=\pmatrix{1&2&\cdots &n}$, y deje $\operatorname{Cl}(\alpha)=\{\beta \alpha \beta^{-1}:\beta \in S_n\}$ denotar la clase conjugacy de $\alpha$.

Pregunta: ¿Qué es el grupo $\langle \operatorname{Cl}(\alpha) \rangle$?

Observación 1: Si $n$ es impar y $n \geq 3$, $\alpha$ y sus conjugados son incluso permutaciones (ya que todos ellos tienen la misma estructura del ciclo), por lo $\langle \operatorname{Cl}(\alpha) \rangle$ sólo contiene incluso permutaciones, y por lo tanto es un subgrupo de la alternancia de grupo $A_n < S_n$.

Observación 2: a Juzgar por algunos de los cálculos en la BRECHA, se parece a $\langle \operatorname{Cl}(\alpha) \rangle=A_n$ por extraño $n \geq 3$ $\langle \operatorname{Cl}(\alpha) \rangle=S_n$ incluso $n \geq 2$.

Answer 1

El siguiente es incluso verdad: que $1 impar entonces $H_k = A_n$ y $k$ es incluso $H_k = S_n$.

Answer 2

Su conjetura es correcta. En primer lugar, $\text{CL}(\alpha)$ es, precisamente, todas las $n$-ciclos, desde el simple hecho de que si $\beta \in S_n$, luego $$ \beta(12\dots n)\beta^{-1} = (\beta(1) \beta(2) \dots \beta(n)). $$ Supongamos $n \ge 5$ es impar. A continuación, el $n$-ciclo es una permutación, por lo que se puede escribir como un producto de incluso permutaciones. El producto $(abc d \dots n) (n \dots d bc a) = (bdc)$ nos da una arbitraria $3$-ciclo, por lo que el $n$-ciclos de generar $A_n$. Pero, como cada $n$-ciclo es incluso eso es todo lo que se puede generar. (Para$n=3$, $n$- de los ciclos de $3$-ciclos, de modo que, obviamente, generar $A_3$).

Supongamos $n \ge 4$ es incluso. A continuación, el $n$-ciclo es una permutación impar. Tomando el producto $(abc \dots n)(n \dots cab) = (acb)$ nos da de nuevo $A_n$, pero, a continuación, $A_n$ es normal en $S_n$ (tiene un índice de $2$), por lo que cualquier permutación impar va a ser generados por cualquier $n$-ciclo multiplicado por algún elemento único de la $A_n$. Por lo tanto, para$n$, incluso uno se $S_n$.

Espero que ayude,

Answer 3

Si $S$ es un subconjunto de un grupo $G$ satisfacer

$\bullet$ $gSg^{-1}\subset S$ % todo $g$$G$y

$\bullet$ $s^{-1}\in S$ % todo $s$$S$,

luego el subgrupo generado por $S$ es normal.