Es esta serie convergente? La conocí cuando yo estaba estudiando algunos de los fractales.
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}\frac{\sin k}{k}$$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Silver Gun
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25
Un comentario muy largo que te hacen perder la fe en la convergencia de su límite ; no alcancé a probar el hecho de que aunque diverge. Para $x \in \mathbb C \backslash \{0\}$, tenemos $$ \begin{align} \sum_{k=1}^n \binom nk \frac{x^k}k &= \sum_{k=1}^n \binom nk\int_0^x t^{k-1} \, \mathrm dt \\ &= \int_0^x \left( \sum_{k=1}^n \binom nk t^{k-1} \right) \, \mathrm dt \\ &= \int_0^x \left( \frac 1t \left[\sum_{k=0}^n \binom nk t^k - 1 \right] \right) \mathrm dt \\ &= \int_0^x \frac{(1+t)^n-1}{t} \, \mathrm dt \\ &= \int_0^x \frac{(1+t)^n - 1}{(1+t)-1} \, \mathrm dt \\ &= \int_0^x \sum_{k=0}^{n-1} (1+t)^k \, \mathrm dt \\ &= \sum_{k=0}^{n-1} \int_0^x (1+t)^k \, \mathrm dt \\ &= \sum_{k=0}^{n-1} \left[ \frac{(1+x)^{k+1} - 1}{k+1} \right] \\ &= \sum_{k=1}^n \left[ \frac{(1+x)^k - 1}{k} \right]. \end{align} $$ por lo tanto dejando $x = e^i$, obtenemos $$ \sum_{k=1}^n \left[ \frac{(1+e^i)^k - 1}{k} \right] = \sum_{k=1}^n \binom nk \frac{e^{ik}}k = \left( \sum_{k=1}^n \binom nk \frac{\cos k}{k} \right) + i \left( \sum_{k=1}^n \binom nk \frac{\pecado k}{k} \right) $$ Si la serie para $\sin$ $\cos$ convergían, por lo que la serie $$ \sum_{k \ge 1} \frac{(1+e^i)^k - 1}{k}. $$ El término principal de esta serie no va a cero porque $$ \left| \frac{(1+e^i)^k - 1}{k} \right| \ge \frac{|1+e^i|^k - 1}{k} \ge \frac{(1.75)^k - 1}{k} \to \infty. $$ (He utilizado el hecho de que $|1+e^i| \approx 1.755165...$ ver aquí.) Así que sabemos que tanto la parte real o la parte imaginaria diverge. Creo que es suficiente para perder la fe en tener uno convergen, ya que se comportan de manera similar (y de la serie considerada no sólo divergentes, su principal plazo va hasta el infinito...)
Espero que ayude,
Phil Karn
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31
Antes de tomar el límite, la suma tiene forma de expresión en términos de funciones hipergeométricas:
$$ \la suma de _{k=1}^n \binom{n}{k}\frac{\pecado k }{k} = -\frac{1}{2} e^{-i} n \left(e^{2} \, _3F_2\left(1,1,1-n;2,2;-e^i\right)-\, _3F_2\left(1,1,1-n;2,2;-e^{-i}\right)\right) $$
Ahora sólo falta que para el estudio de la asymptotics de tales funciones, a saber, hacer que la caries suficientemente rápido como el tercer argumento va a $-\infty$. Creo que se podría encontrar estas propiedades en las habituales referencias acerca de las funciones especiales (DLMF o Abramowitz y Stegun), y que sería suficiente como prueba. Sin duda, puedo decir que crecen unboundedly como el tercer argumento se vuelve cada vez más negativa, pero habrá algunos asintótica límites para rematar una prueba.
