Una pregunta sobre el producto tensorial

Question

Estoy leyendo el interesante papel escrito por M. Aguiar. En la página 267, no sé si se pueden sustituir los símbolos del tensor en una identidad por algunos elementos de manera que la identidad se siga estableciendo.

Tal vez podamos plantear esta pregunta de la siguiente manera. Sea $\mathbf{k}$ sea un anillo conmutativo con unidad y $A$ ser un $\mathbf{k}$ -con unidad. Dada una identidad $$u_1\otimes v_1=u_2\otimes v_2 \text { for some }u_1,u_2,v_1,v_2\in A.$$ Si sustituimos los símbolos del tensor por $x\in A$ la identidad $$u_1x v_1=u_2x v_2$$ ¿todavía está establecido? Mi pregunta es cómo probarlo.

Answer 1

Supongo que $\otimes$ denota el producto tensorial sobre $\mathbf{k}$ para que $\otimes = \otimes_\mathbf{k}$ .

Para responder a la pregunta tal y como se ha planteado: El mapa $$ A \times A \to A, \quad (u,v) \mapsto uxv $$ es $\mathbf{k}$ -bilineal, y por lo tanto induce una $\mathbf{k}$ -mapa lineal $$ h \colon A \otimes_\mathbf{k} A \to A, \quad u \otimes v \mapsto uxv. $$ De ello se desprende que para $\sum_i u_i \otimes v_i = \sum_j u'_j \otimes v'_j$ y $x \in A$ que $$ \sum_i u_i x v_i = h\left( \sum_i u_i \otimes v_i \right) = h\left( \sum_j u'_j \otimes v'_j \right) = \sum_j u'_j x v'_j. $$

Pero Creo que en realidad queremos eso para $\sum_i u_i \otimes v_i \otimes w_i = \sum_j u'_j \otimes v'_j \otimes w'_j$ y $x, y \in A$ tenemos que $$ \sum_i u_i x v_i y w_i = \sum_j u'_j x v'_j y w'_j. $$ Esto se puede demostrar de la misma manera que en el caso anterior, considerando el $\mathbf{k}$ -Mapa trilineal $$ A \times A \times A \to A, \quad (u,v,w) \mapsto uxvyw. $$ Para $r = \sum_i u_i \otimes v_i$ y $\beta \colon A \to A$ dado por $\beta(x) = \sum_i u_i x v_i$ tenemos que \begin{align*} \beta(x)\beta(y) &= \sum_{i,j} u_i x v_i u_j y v_j, \\ \beta(\beta(x) y) &= \sum_{i,j} u_i u_j x v_j y v_i, \\ \beta(x \beta(y)) &= \sum_{i,j} u_j x u_i y v_i v_j, \end{align*} por lo que se sigue con $\mathbf{A}(r) = 0$ (sustituyendo los símbolos del tensor $\otimes$ en la ecuación dada por $x$ y $y$ ) que $$ \beta(x)\beta(y) = \beta(\beta(x) y) + \beta(x \beta(y)). $$ Por lo que tengo entendido, esto es lo que significa para $\beta$ para ser un operador de Baxter.

Answer 2

Claro porque su operación binaria en $A$ $\cdot: AxA\to A$ es un producto equilibrado y por tanto, por la propiedad universal del producto tensorial, existe un mapa único $\phi:A\otimes A\to A$ tal que $\cdot=\phi\circ\otimes$ y así si tienes eso $u_1\otimes v_1=u_2\otimes v_2$ que $u_1v_1=\phi\circ\otimes (u_1,v_1)=\phi(u_1\otimes v_1)=$ $\phi(u_2\otimes v_2)= \phi\circ\otimes(u_2, v_2) =u_2v_2$