¿valor máximo de $a+b+c$ dado $a^2+b^2+c^2=48$?

Question

Cómo puedo obtener máximo valor de este $a+b+c$ dado $a^2+b^2+c^2=48$ por no usar AM, GM con multiplicadores de lagrange.

Answer 1

Puede utilizar la identidad

$$(a+b+c)^2=3(a^2+b^2+c^2)-(a-b)^2-(b-c)^2-(c-a)^2$$

La derecha claramente se maximiza cuando $a=b=c$ y $a+b+c=12$

Answer 2

La desigualdad de Cauchy-Schwarz rendimientos $$|a + b + c|^2 \le (a^2 + b^2 + c^2)\cdot 3 = 144$ $ y por lo tanto $a + b + c \le 12$. Enchufar en $a = b = c = 4$ muestra que este valor es realmente lo máximo.

Como alternativa, puede utilizar la convexidad de la función $x \mapsto \sqrt{x}$. Por la desigualdad de Jensen tenemos %#% $ #% otra vez, conectar en $$a + b + c \le |a| + |b| + |c| = 3\left(\frac{1}{3}\sqrt{a^2} + \frac{1}{3}\sqrt{b^2} + \frac{1}{3}\sqrt{c^2}\right) \le 3 \sqrt{\frac{1}{3}a^2 + \frac{1}{3}b^2 + \frac{1}{3}c^2} = 12$ rendimientos el resultado.

Answer 3

Observar que podemos formular esta pregunta en términos de álgebra lineal. Tenga en cuenta la condición de que $a^2 + b^2 + c^2 = 48$ es lo mismo que un vector con norma $\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$. La condición de maximizar $a+b+c$ es lo mismo que maximizar el producto interno de $\mathbb{1} = \left [\begin{array}{ccc} 1&1&1\ \end{matriz} \right] $ with the vector $v = \left [\begin{array}{ccc} a&b&c\ \end{matriz} \right] $. We know however by Cauchy-Schwarz that $\langle \mathbb{1}, v\rangle$ is maximized when $v$ is linearly dependent with $\mathbb{1}$. In other words we would like $v$ to be a multiple of $\mathbb{1}$ hence $a=b=c$, such that $ 3A ^ 2 = 48 $, or rather $a = 4$.

Answer 4

Vamos a comprobar si $a+b+c=r$ $a^2+b^2+c^2>\frac{r^2}{3}$ y la igualdad se alcanza sólo al $a=b=c$.

Supongamos que el mínimo se obtiene con los valores de $a,b,c$ y no tenemos $a=b=c$. luego, sin pérdida de generalidad tenemos $a\neq b$ deje $a+b=m$ y escribir $a$$\frac{m+n}{2}$$b$$\frac{m-n}{2}$. Entonces la suma de los cuadrados es $\frac{m^2+n^2}{2}+c^2$ que es mayor de lo que podríamos conseguir con $\frac{m}{2},\frac{m}{2},c$. Por tanto, el mínimo se alcanza cuando el $a=b=c$.

Al $r=12$ obtenemos el valor mínimo de $a^2+b^2+c^2$$\frac{144}{3}=48$. Al $r$ es mayor $\frac{r^2}{3}$ es mayor que $48$. Por lo tanto el valor máximo de $a+b+c$ $12$ y se alcanza sólo al $a=b=c=4$

Answer 5

Por la desigualdad media aritmética cuadrática, $\frac{a+b+c}{3} \le \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}} = \sqrt{\frac{48}{3}} = \sqrt{16} = 4 $ con igualdad iff $a=b=c$.

Por lo tanto $a+b+c = 12$ y $a=b=c = 4$.