¿Los generadores de $SO(n)$ son antisimétrico, lo que significa que hay no generadores de diagonal y por lo tanto fila cero para la álgebra de mentira?

Question

Bueno, esto puede ser una pregunta tonta pero no puedo averiguarlo yo mismo ahora.

Por definición, $O \in SO(n)$ cumple $O^T O=1$$\det(O)=1$.

Para los generadores del grupo $T_a \in so(n)$, esto significa que debido a $O= e^{\alpha_a T_a}$ que $T_a^T = -T_a$$Tr(T_a)=0$.

1.) Ahora, para explícita de la matriz de las representaciones de nuestro Mentira álgebra esto significa que nuestro matrices que representan los generadores debe ser antisimétrica. Esto significa que las matrices no tienen las entradas de la diagonal.

2.) El rango de una Mentira álgebra se define como la dimensión de la Cartan subalgebra, que es el subconjunto de todos los de la diagonal de los generadores.

Poner 1.) y 2.) juntos significa que la clasificación de cada $SO(n)$ álgebra es cero, lo que es ciertamente malo. Lo que está mal aquí?

Answer 1

El problema es que la propiedad "diagonal de las matrices", o "antisimétrica matrices" depende de la base de la base del espacio vectorial. La forma estándar de representar la Mentira de álgebra $\mathfrak{so}(n)$ fielmente por las matrices, es antisimétrica matrices. Sin embargo, también podemos representar a $\mathfrak{so}(n)$ fielmente por las matrices de los cuales son de nosesgar-simétrica. Lo mismo es cierto para Cartan subalgebras. Estas pueden consistir en diagonal de las matrices en una representación, pero completamente otras matrices en relación a otra representación.
Sin embargo, siempre podemos decir que más de un campo de característica cero, todos los Cartan subalgebras son isomorfos (e incluso conjugado sobre los números complejos).

Answer 2

El problema es con #2. El rango de una álgebra de mentira es la dimensión de cualquiera de sus subalgebras de Cartan (todos los cuales son isomorfos). Ninguno de ellos que contienen matrices diagonales. Puedes ver un tal bajoálgebra para $SO(2n + 1, \mathbb{C})$ en este documento: Estructura teoría de Semisimple mentira grupos - Knapp