Anillos con un número finito de módulos libres generados finitamente, hasta el isomorfismo

Question

Si $A = \mathrm{End}(V)$ , donde $V$ es un espacio vectorial infinito sobre algún campo, entonces no es difícil ver que $A \cong A^2 \cong \dotsb$ . En particular, el mapa $\mathbb{Z} \to K_0(A)$ enviando $n$ a $n[A]$ tiene la imagen cero.

¿Es posible que la imagen de este mapa sea $\mathbb{Z}/n$ para otros $n$ ? Esto significaría, para algunos $m$ que $A^m \cong A^{m+n}$ pero que $A^{m'} \not\cong A^{m'+n'}$ para todos $m'$ y todos $n' < n$ .

(Por supuesto, es un resultado estándar que para $A$ conmutativa, $A^m \cong A^n$ significa $m = n$ Así que $A$ es necesariamente no conmutativo aquí).

Answer 1

Hay álgebras muy bonitas llamadas álgebras de Leavitt que proporcionan ejemplos de anillos no IBN.

Dado un anillo no IBN $R$ , dejemos que $m$ sea mínima, tal que $R^m\cong R^n$ para algunos $n>m$ . Sea $n$ también sea mínima con respecto a $m$ . En este caso $R$ se dice que tiene "tipo de módulo $(m,n)$ .

Teorema de existencia de Leavitt garantiza que existe un álgebra de Leavitt de tipo $(m,n)$ para cualquier prescripción $m<n$ . Si la presentación de diapositivas es demasiado escasa, consulte el tercer capítulo de este libro en línea donde Gene lo resume todo.

Creo que esto parece ser un ejemplo de lo que se busca, ya que $m'<m$ implica que $R^{m'}\ncong R^n$ para cualquier $n$ .