¿Los múltiplos equivalentes implican matrices equivalentes?

Question

Dejemos que $A_1, A_2 \in \mathbb{Z}^{n \times n}$ sean matrices cuadradas y supongamos que algunos múltiplos $C A_1, CA_2$ con $C \in \mathbb{Z}^{n \times n}$ , $\mathrm{det}(C) \ne 0$ son equivalentes a las filas, es decir $$CA_1 = U C A_2, \; \; U \in GL(n;\mathbb{Z}).$$ ¿Se deduce que $A_1, A_2$ o al menos que sean equivalentes en el sentido más débil $$A_1 = P A_2 Q, \; \; P,Q \in GL(n;\mathbb{Z})?$$

Si esto fuera sobre un campo entonces $C^{-1} U C$ sería una equivalencia entre $A_1$ y $A_2$ . Sin embargo, $C^{-1} U C$ no es necesariamente integral por lo que no funciona aquí.

Answer 1

Las respuestas a ambas preguntas son negativas. Sea \begin{align*} &U=\pmatrix{3&1\\ 2&1},\ C=\pmatrix{2&4\\ 2&3}, \ C^{-1}UC=\frac12\pmatrix{0&-1\\ 4&8},\\ &A_1=2C^{-1}UC=\pmatrix{0&-1\\ 4&8},\ A_2=2I. \end{align*} Entonces $CA_1=UCA_2$ . Sin embargo, $A_1$ y $A_2$ no son equivalentes sobre $\mathbb Z$ , ya que, si $A_1=PA_2Q=2PQ$ para algunos $P,Q\in GL(n;\mathbb Z)$ todas las entradas de $A_1$ debe ser uniforme. Sin embargo, esto no es cierto.