Verdadero o falso: hay un espacio $X$ tal que $S^1$ es homeomorfa a $X\times X$

Question

Yo tenía un examen de esta mañana, una de las preguntas frecuentes acerca de la verdad de la declaración

Hay un espacio de $X$ tal que $S^1$ es homeomórficos a $X\times X$.

Me dijo que esto era falso, y este fue mi razonamiento... estaba en lo correcto? (Nota, una primera parte de la pregunta que me probara $\pi_1(Y\times Z)=\pi_1(Y)\times\pi_1(Z)$, lo tomé como una sugerencia.)

Supongamos que por el bien de la contradicción que ese $X$ existe. A continuación, $\Bbb{Z}\cong G\times G$ donde $G\cong\pi_1(X)$. Deje $\Phi$ ser el isomorfismo.

Deje $\Phi(1)=(g_1,g_2)\in G\times G$. Entonces al menos uno de $g_1,g_2$ es distinto de cero, ya que $\Phi(0)=(0,0)$ (la identidad en $G\times G$, e $\Phi$ es inyectiva). Sin pérdida de generalidad $g_1\ne 0$. Luego que el elemento$n\in\Bbb{Z}$$\Phi(n)=(kg_1,0)$? Desde $$kg_1=\underbrace{g_1+\dots +g_1}_k\in G,$$ y $\Phi$ es surjective, una $n$ que debe de existir. Pero esto no es posible ya $\Phi(n)=(kg_1,0)$ implica que (desde $\Phi$ es un homomorphism) que $kg_1=ng_1$$ng_2=0$, y desde $k$ era arbitraria y que este no necesita tener si $k\ne 0$.

Answer 1

Su idea es ACEPTAR, utilizando homotopy grupos.

Supongamos $\mathbb{Z} = G \times G$ para algunos (Abelian) grupo $G$, el cual debe ser infinito. A continuación, tenga en cuenta que $\{0\} \times G$ $G \times \{0\}$ son infinitos los subgrupos de $G \times G$ que se cruzan sólo en la unidad el elemento $\{(0,0)\}$. Por el isomorfismo que supuestamente existe, subgrupos también debe existir en los enteros.

Pero cualquier subgrupo de $\mathbb{Z}$ es de la forma$n\mathbb{Z}$, y dos de ellos han infinito intersección (al menos $nm\mathbb{Z}$$n\mathbb{Z}$$m\mathbb{Z}$), por lo que estos subgrupos no puede existir.

Mediante su enfoque original: supongamos $h: \mathbb{Z} \rightarrow G \times G$ es un isomorfismo, y $h(1) = (g_1,g_2)$, por lo que el $h(n) = (ng_1, ng_2)$. Como $(0,g_2)$ debe ser una imagen, $h(k) = (0,g_2)$ algunos $k$, pero también es igual a $(kg_1, kg_2)$$kg_1 = 0$, e $kg_2 = g_2$, el segundo implica $k=1$ (y, a continuación, $g_1 = 0$ a partir de la primera ecuación) o $g_2 = 0$. En cualquier caso, la imagen de $\mathbb{Z}$ sólo puede ser un subconjunto de a $G \times \{0\}$ o $\{0\} \times G$, ambos de los cuales nunca están todos de $G \times G$.