Yo tenía un examen de esta mañana, una de las preguntas frecuentes acerca de la verdad de la declaración
Hay un espacio de $X$ tal que $S^1$ es homeomórficos a $X\times X$.
Me dijo que esto era falso, y este fue mi razonamiento... estaba en lo correcto? (Nota, una primera parte de la pregunta que me probara $\pi_1(Y\times Z)=\pi_1(Y)\times\pi_1(Z)$, lo tomé como una sugerencia.)
Supongamos que por el bien de la contradicción que ese $X$ existe. A continuación, $\Bbb{Z}\cong G\times G$ donde $G\cong\pi_1(X)$. Deje $\Phi$ ser el isomorfismo.
Deje $\Phi(1)=(g_1,g_2)\in G\times G$. Entonces al menos uno de $g_1,g_2$ es distinto de cero, ya que $\Phi(0)=(0,0)$ (la identidad en $G\times G$, e $\Phi$ es inyectiva). Sin pérdida de generalidad $g_1\ne 0$. Luego que el elemento$n\in\Bbb{Z}$$\Phi(n)=(kg_1,0)$? Desde $$kg_1=\underbrace{g_1+\dots +g_1}_k\in G,$$ y $\Phi$ es surjective, una $n$ que debe de existir. Pero esto no es posible ya $\Phi(n)=(kg_1,0)$ implica que (desde $\Phi$ es un homomorphism) que $kg_1=ng_1$$ng_2=0$, y desde $k$ era arbitraria y que este no necesita tener si $k\ne 0$.