Sé que todos los campos inclinados finitos son campos ¿Cómo se deduce de este hecho que el grupo de Brauer de un campo finito es trivial?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El grupo de Brauer de un campo $k$ es el grupo de (clases de isomorfismo de) álgebras de división cuyo centro es $k$ . Dado que cualquier álgebra de división finita es un campo, y por tanto es su propio centro, la única álgebra de división cuyo centro es $\mathbb{F}_q$ es $\mathbb{F}_q$ sí mismo. La afirmación de que toda álgebra de división finita es un campo se conoce como Teorema de Wedderburn. (más detalles aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/Wedderburn%27s_little_theorem )
Es posible que esté más familiarizado con la definición de grupo de Brauer como grupo de clases de álgebras simples centrales sobre $k$ pero nótese que en esta definición cada clase de equivalencia contiene exactamente un álgebra de división.
