f (x) es una función tal que $\lim_{x\to0} f(x)/x=1$

Question

$f(x)$ es una función tal que % $ $$\lim_{x\to0} \frac{f(x)}{x}=1$si

$$\lim_{x \to 0} \frac{x(1+a\cos(x))-b\sin(x)}{f(x)^3}=1$$

Buscar $a$ y $b$

¿Puedo suponer $f(x)$ a $\sin(x)$ desde $\sin$ satisface la condición dada?

Answer 1

Sugerencia. Usted puede utilizar las extensiones estándar de la serie de Taylor, como $x \to 0$, $$\begin{align} \cos x&=1-\frac{x^2}2+O(x^4)\ \sin x&=x-\frac{x^3}6+O(x^4) \end {alinee el} $$ dar $$\begin{align} \frac{x(1+a\cos x)-b\sin x}{(f(x))^3}&=\frac{(1+a-b) x+\frac16 (-3 a+b) x^3+O(x^5)}{(f(x))^3} \\&=\frac{(1+a-b) x+\frac169 (-3 a+b) x^3+O(x^5)}{x^3(1+\epsilon(x))^3} \end {Alinee el} $$ where, as $x \to 0$, we have used $f(x)=x(1+\epsilon(x))$ with $\epsilon(x) \to 0$.

¿Lo puede tomar desde aquí?

Answer 2

Reescribe$$A=\frac{x(1+a\cos(x))-b\sin(x)}{f(x)^3}= \frac{x(1+a\cos(x))-b\sin(x)}{x^3}\times\Big(\frac{x}{f(x)}\Big)^3$ $ y ahora, como respondió Olivier Oloa, usa las expansiones de Taylor.

Cualquiera que sea el$\lim_{x\to0} \frac{f(x)}{x}=L$ (excepto$0$ o$\infty$), puede encontrar las condiciones que desea para$\lim_{x\to0} A=M$.

Answer 3

Como$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=1$, tenemos $$ \ lim_ {x \ to0} \ frac {x} {f (x)} = \ lim_ {x \ to0} \ frac {1} {\ frac {f (x) } {x}} = \ frac {1} {\ displaystyle \ lim_ {x \ to0} \ frac {f (x)} {x}} = \ frac {1} {1} = 1. $$ Ahora, por usando la regla de L'Hopital, tenemos \begin{align} 1&=\lim_{x \to 0} \frac{x(1+a\cos(x))-b\sin(x)}{f(x)^3}\\ &=\lim_{x \to 0}\left[\frac{x^3}{f(x)^3}\cdot\frac{x(1+a\cos(x))-b\sin(x)}{x^3}\right]\\ &=\left(\lim_{x \to 0}\frac{x}{f(x)}\right)^3\cdot \lim_{x\to0}\frac{x(1+a\cos(x))-b\sin(x)}{x^3}\\ &\stackrel{\rm H}{=} 1^3\cdot\lim_{x\to0}\frac{1+a\cos(x)-ax\sin(x)-b\cos(x)}{3x^2}\tag{1}\\ &\stackrel{\rm H}{=} \lim_{x\to0}\frac{-a\sin(x)-a\sin(x)-ax\cos(x)+b\sin(x)}{6x}\\ &\stackrel{\rm H}{=} \lim_{x\to0}\frac{-2a\cos(x)-a\cos(x)+ax\sin(x)+b\cos(x)}{6}\\ &=\frac{-3a+b}{6}\tag{2}. \end {align} Por$(1)$, tenemos que forzar el límite del numerador a cero, entonces$1+a-b=0$. Además, por$(2)$ naturalmente obtenemos$-3a+b=6$. Por lo tanto, concluimos que$a=-\frac{5}{2}$ y$b=-\frac{3}{2}$.

Answer 4

Sugerencia : tenemos:$\dfrac{1+a\cos x}{x^2} - \dfrac{b}{\sin^2 x} \to 1$, y reescribimos$\dfrac{b}{\sin^2 x} = \dfrac{b}{x^2}\cdot \dfrac{x^2}{\sin^2 x}$, entonces el límite a la izquierda es$\dfrac{1+a\cos x - b}{x^2} = 1$, esto significa que puede asumir el significado de la regla L'hopitale:$1 + a - b = 0$, y diferenciar tanto el numerador como el denominador para obtener otra ecuación y resolver para$a, b$.