Pregunta sobre productos cartesianos en el nivel elemental

Question

Supongamos que ${ X\alpha }{\alpha \in A} $ es una familia de conjuntos indexados por $A$. Si $A $ $\mathbb{N}$, entonces el producto cartesiano de ellos es

$$ X_1 \times X_2 \times \cdots $$

Leer libro de Folland, define el producto cartesiano de los $\prod{\alpha \in A} X{\alpha } $ como

$$ { f: A \to \bigcup{\alpha \in A} X\alpha : f( \alpha) \in X_\alpha \; \; \forall \alpha } $$

Estoy teniendo un tiempo difícil entender esta definición. ¿Puede alguien explicarme a mí? Estaba tratando de relacionar esta definición al caso cuando $A = \mathbb{N}$ pero todavía estoy un poco perdido.

Answer 1

Pensar en el producto cartesiano de 3 conjuntos. Es el conjunto de tripletas ordenadas, $(x_1,x_2,x_3)$, donde $x_i\in X_i$ $i=1,2,3$. Eso significa que puedes también describir como el conjunto de funciones de ${1,2,3}\to \bigcup X_i$, con la restricción que el $f(1)\in X_1$, $f(2)\in X_2$% y $f(3)\in X_3$. Piensa en el ordenado triple $(a,b,c)$ como la función de $f(1)=a$, $f(2)=b$, $f(3)=c$.

Ahora que el conjunto de $A$ ser mucho más grande que simplemente ${1,2,3}$. La definición generaliza perfectamente.

¿A ayuda?

Answer 2

Un elemento de $\prod_{\mathbb N} X_i$ es una lista $(x_1,x_2,\ldots)$. ¿Qué es esa lista? Es una opción, para cada $i\in \mathbb{N}$, de un elemento $x_i\in X_i$. ¿Qué es una función de $\mathbb{N}$ $\bigcup X_i$ tal que $f(i)\in X_i$? Es una opción, cada $i\in\mathbb{N}$, de un elemento $x_i\in \bigcup X_i$ tal que $x_i\in X_i$.

Answer 3

$$ \left\ {f: un \to \bigcup{\alpha \in} X\alpha: \in X_\alpha f (\alpha) \; \; \forall \alpha \right} $$

En el % de exression $X_1\times X_2\times X_3\times\cdots$, es el el conjunto de $A$ ${1,2,3,4,\ldots}$, y la correspondiente función de $f$ $(x_1,x_2,x_3,\ldots)$ $f(1)=x_1,\ f(2)=x_2,\ f(3)=x_3,\ \ldots\ {}$ da.

Answer 4

Dicen que tomar todos los conjuntos de $X_\alpha$ y tirar su contenido en un sombrero. Que la unión de la $X_\alpha$'s. Considere una función de $f$ que, para cada índice $\alpha \in A$, recoge un elemento del sombrero. Está claro que existen muchas de esas funciones.

Para una función determinada, $f$ y un índice determinado $\alpha$, ya que el $f(\alpha)$ es en la unión de todos los conjuntos de $X_\alpha$, que puede o no puede ser el caso de que $f(\alpha)$ pasa a ser un elemento de $X_\alpha$.

Si una función $f$ tiene la propiedad de que para cada $\alpha$, $f(\alpha) \in X_\alpha$, entonces llamamos a $f$ una función de elección. Eso es porque podemos pensar de $f$ como elegir un elemento de cada uno de los conjuntos de $X_\alpha$.

Si usted trabaja fuera de este ejemplo con un finito o contable de la colección de $A_\alpha$'s, que corresponde a la habitual de la intuición de que el producto Cartesiano como un conjunto de n-tuplas o incluso countably infinito-tuplas.

La elección de una definición de función simplemente extiende esta idea arbitraria de conjuntos de índice. De hecho, si usted piensa acerca de una función de elección como "Una-tupla" es exactamente el mismo.

Answer 5

Esta es realmente la correcta generalización de pares ordenados.

Pensamos en un elemento de este producto como algunos infinito tupla, y eso está bien. Pero, ¿cómo se define eso?

Tenemos una noción de pares ordenados, y nosotros, a menudo definen $A\times B\times C$ $(A\times B)\times C$ o $A\times (B\times C)$, y, a continuación, nos muestran que hay una natural bijection entre ellos, así que en última instancia no importa cómo elegimos para definir trillizos.

Luego, por inducción, vamos a extender esta noción a cada finito $n$. Pero sólo porque podemos hacer algo por inducción para cada número finito no significa que podemos hacer por un número infinito de cosas a la vez. Lo que sería un $\Bbb N$-tupla? Sólo una lista infinita de abrir paréntesis, a continuación, un elemento $x_1$, una lista infinita de paréntesis, $x_2$, y así sucesivamente? Esto es problemático desde varios puntos de vista. Incluyendo el moderno conjunto teórico, que define a $(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}$ (esto es cómo interpretamos como conjuntos de pares ordenados), y la definición de un infinito tupla como el que haría una secuencia infinita de conjuntos de $A_{n+1}\in A_n$, lo que contradice el axioma de regularidad.

Es mucho más sencillo observar que un $2$-tupla es sólo una función de un conjunto de índices en algunos conjuntos. Así que la primera coordenada es siempre elegido de $A$ y el segundo de $B$; luego tenemos la facilidad de extender esta noción a los grandes dominios, $A\times B\times C$ sería el conjunto de funciones de $\{1,2,3\}$ tal que $f(1)\in A$, $f(2)\in B$ y $f(3)\in C$. Y así sucesivamente. Así que se puede escribir como funciones de $\{1,2,3\}$ a $A\cup B\cup C$ tal que $f(0)\in A$, $f(1)\in B$ y $f(2)\in C$.

Y esta noción se extiende fácilmente a infinitas productos. Así que ahora podemos definir $\prod_{n\in\Bbb N}A_n$ como las funciones de $\Bbb N$ a $\bigcup_{n\in\Bbb N}A_n$ tal que $f(n)\in A_n$. Y eso es exactamente lo que hay.