Deje $A$ $C^*\text{-algebra}$ $A_+$ denotar los elementos positivos. Un elemento $a\in A_+$ se llama
estrictamente positivo si $\overline{aAa}=A$. Queremos encontrar los siguientes:
a) ¿cuáles son los estrictamente elementos positivos de $C_0(\Omega)$ donde $\Omega$ es localmente compacto Hausdorff espacio, y $C_0(\Omega)$ es el espacio del complejo continuo de las funciones con valores que se desvanece en $\infty$.
b)Si $A$ es unital, a continuación, $a\in A_+$ es estrictamente positivo iff $a$ es invertible.
c)si $(e_n)$ es un aproximado de identidad de $A$, $a:=\sum_{n=}^{\infty}\frac{1}{2^n}e_n$es estrictamente positivo.
Lo he intentado y saber:
a) yo sé que los elementos positivos en este espacio son funciones con imágenes positivas, y por lo tanto, estrictamente positivo de los elementos son funciones con imágenes positivas y ahora raíz real. es esto correcto? y ¿cómo puedo demostrar que los elementos positivos son este tipo de funciones.
b) me cifras que si $a$ en invertible, entonces a $a$ es estrictamente positivo, pero ni idea de cómo hacer la otra dirección.
c)me hizo esto, pero utilizando otra caracterización de los estrictamente elementos positivos, pero quiero hacer con este, y no sé cómo.
Gracias por su ayuda.
Respuesta
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La pregunta (a) Denota la $\widetilde{\Omega}$ el punto de compactification de $\Omega$, y denotando $\infty$ el punto extra, tenemos una natural isométrica de la incrustación de $C_0(\Omega)$ a $C(\widetilde{\Omega})$. El rango de esta inclusión es $$ A=\{f\in C(\widetilde{\Omega})\;;\;f(\infty)=0\}. $$ Esto es claramente un sub $C^*$ álgebra de $C(\widetilde{\Omega})$. Nos dicen que sus elementos son estrictamente positivos $$ A_{++}=\{f\in A\;;\; f(x)\neq 0\;\forall x\in \Omega\}. $$
La herramienta clave es Urysohn del lema para $C(\widetilde{\Omega})$, que se mantiene debido a $\widetilde{\Omega}$ es Hausdorff compacto, por lo tanto normal.
En primer lugar, asumir que $f\in A$ se desvanece en algún $x_0$$\Omega$. Por Urysohn, existe $g\in C(\widetilde{\Omega})$ tal que $g(x_0)=1$$g(\infty)=0$. Ahora cada función $h$$fAf$$f(x_0)=0$, por lo tanto también cada función en $\overline{fAf}$. Por lo $g$ no pertenece a este último, y $f$ no es estrictamente positivo.
Supongamos ahora que $f\in A$ no desaparecen en $\Omega$. Para cada función de $g\in A$ con el apoyo contenida en $\Omega$, podemos escribir $g=fhf$ $h=g/f^2$ sobre el apoyo de $g$ $0$ en otros lugares. Por lo $g$ pertenece a $fAf$. Ahora, cada función en $A$ es el límite uniforme de funciones con el apoyo en $\Omega$, el uso de Urysohn de nuevo. Por lo $\overline{fAf}=A$, es decir, $f$ es estrictamente positivo.
De vuelta a $C_0(\Omega)$, la estrictamente positivo elementos son los elementos positivos que no se desvanecen en $\Omega$. Que es el positivo funciones con límite de $0$$\infty$.
Pregunta b) Si $a$ es invertible, entonces cada $x\in A$ puede ser escrito $x=aya$$y=a^{-1}xa^{-1}$$A$. Por lo $A=aAa$. Por el contrario (el argumento de la laready ha dado aquí por Vahid Shirbisheh), si $A=\overline{aAa}$, entonces a fortiori $1$ pertenece a $\overline{aAa}$. De modo que existe $x\in A$ tal que $\|1-axa\|<1$. Como es bien sabido, en un álgebra de Banach, esto implica que $axa$ es invertible (cf. Neumann de la serie). De ello se desprende que $a$ es de derecha e izquierda es invertible, por lo tanto invertible. Esto demuestra la equivalencia.
Pregunta c) supongo que por aproximada de identidad que significa cada $e_n$ es positivo, ha $\|e_n\|\leq 1$, e $\lim xe_n=\lim e_nx=x $ por cada $x\in A$. La serie la definición de $a$ es absolutamente convergente, por lo $a$ está bien definido.
La única prueba que puedo pensar, se utiliza la siguiente caracterización: $a\geq 0$ tal que $\|a\|\leq 1$ es estrictamente positivo si y sólo si $a^\frac{1}{n}$ es un aproximado de identidad de $A$.
Sólo queda observar que $\|a\|\leq 1$ y que, de hecho, $a^\frac{1}{n}$ es un aproximado de identidad. Esto se desprende de las desigualdades $$ h^\frac{1}{m}\geq \frac{1}{2^\frac{n}{m}}h_n^\frac{1}{m}\geq \frac{1}{2^\frac{n}{m}}h_n $$ para todos los $n,m$.
