Modulo de la suma de variables aleatorias

Question

Sea $X_i$ variables de aleatorias i.i.d. en ${1,\dots,d},d\in \mathbb N$.

Cuál es la mejor manera de tratar analíticamente

$$\left(\sum_{k=1}^{n} X_k \right ) \mod d$$

¿Hay una receta general para deshacerse del modulo $d$ condición?

Por ejemplo, ¿cómo sería uno calcula el límite débil de la anterior expresión como $n\mapsto \infty$?

Answer 1

Una herramienta a tener en cuenta cuando modulo están involucrados es la transformada de Fourier discreta. Aquí, se considera $U=\{z\in\mathbb C\mid z^d=1\}$ el conjunto de la $d$th raíces de $1$, y de la transformación de la $g_X:U\to\mathbb C$ definido por $g_X(z)=\mathbb E(z^X)=\sum\limits_{k=1}^d\mathbb P(X=k)z^k$. A continuación, $g_X$ caracteriza la distribución de $X$, ya que para cada $1\leqslant k\leqslant d$, $$ \mathbb P(X=k)=\frac1d\sum_{z\U}z^{-k}g_X(z). $$ En un caso especial, las cosas son aún más simple, con el siguiente resultado:

Leyenda: Para cada independientes $X$ $Y$ si $X$ se distribuye uniformemente en el modulo $d$ $X+Y$ se distribuye uniformemente en el modulo $d$.

En su caso, tan pronto como una variable aleatoria $X_k$ se distribuye uniformemente en el modulo $d$, cada suma $\sum\limits_{k=1}^nX_k$ es.

Para probar la leyenda anterior, la escuela primaria, el enfoque funciona, pero uno puede también tenga en cuenta que $X$ se distribuye uniformemente en el modulo $d$ si y sólo si $g_X(1)=1$ $g_X(z)=0$ por cada $z\ne1$$U$. Desde $g_{X+Y}=g_X\cdot g_Y$$g_Y(1)=1$, la misma que tiene por $g_{X+Y}$, $g_{X+Y}(1)=1$ $g_{X+Y}(z)=0$ por cada $z\ne1$$U$. Por lo tanto, $X+Y$ se distribuye uniformemente en el modulo $d$, QED.

En el caso general, si $(X_k)$ es yo.yo.d. y distribuirse como $X$, se observa que el $g_{X_1+\cdots+X_n}=(g_X)^n$. Por lo tanto $g_{X_1+\cdots+X_n}(1)=1$. Para cada $z$ en $U$, $|g_X(z)|\leqslant1$. Suponga que $|g_X(z)|\lt1$ o cada $z\ne1$$U$. A continuación, $g_{X_1+\cdots+X_n}(z)\to0$ por cada $z\ne1$$U$, $g_{X_1+\cdots+X_n}\to g_Y$ donde $Y$ se distribuye uniformemente en el modulo $d$, por lo tanto:

$X_1+\cdots+X_n$ converge en distribución a la distribución uniforme del modulo $d$.

La excepción es cuando se $|g_X(z)|=1$ algunos $z\ne1$$U$. Esto implica que $z^X$ es casi seguramente constante, es decir, que $jX$ es constante modulo $d$, para algunas de las $1\leqslant j\leqslant d-1$ (pensemos, por ejemplo,$d=6$$\mathbb P(X\in\{0,2,4\})=1$). Pero, si $\mathbb P(X=k)\ne0$ por cada $1\leqslant k\leqslant d$, esto no puede suceder.