Orden del grupo cociente$\;\mathbb R^*/G^*$?

Question

Deje que$\mathbb R^*$ sea el grupo de todos los números reales que no sean cero bajo la multiplicación y$\,G^*$ sea el subgrupo de$\mathbb R^*$ que consiste en todos los cuadrados de reales.

¿Cuál es el orden del grupo de cocientes$\;\dfrac{\mathbb R^*}{G^*}$?

Answer 1

Sugerencia: ¿Qué números no son cuadrados en$\mathbb{R}^\ast$? Demuestre que si$x\in\mathbb{R}^\ast$, entonces$x$ o$-x$ es un cuadrado.

Answer 2

Considere$\phi: \mathbb{R}^\ast \to \mathbb{R}^\ast$ dado por$\phi(x)=x/|x|$. Entonces$\phi$ es un homomorfismo. Tenemos$\ker \phi=G^\ast$ porque un número real es un cuadrado si es positivo. También tenemos$\text{im}\, \phi=\{-1,1\}$, lo que significa que$G^\ast$ tiene índice 2.

Answer 3

Escribir $\;G^* = \{g: g = x^2\mid x \in \mathbb R^*\}$

Para cada$g\in G^*$, hay dos $x_i \in \mathbb R^*$ que resuelven$g = x_i^2,\;$ exactamente uno de los cuales también se encuentra en$G^*$.

¿Cómo se relaciona esto con el número de cosets de$\,G^* \in \mathbb R^*$, recordando que los cosets de$\,G^* \leq \mathbb R^*\,$ necesariamente particionan$\,\mathbb R^*\,?\;$ Luego recuerdan$$\large\left[\mathbb R^*: \,G^*\right] = \left| \frac{\mathbb R^*}{G^*}\right|$ $