¿La serie $\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n}e^n$ ¿converger?

Question

¿Podría dar alguna pista sobre cómo comprobar la convergencia de esta serie? $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n}e^n$ ?

La prueba de la raíz no es concluyente.

Gracias.

Answer 1

Dejemos que $\displaystyle a_n = \frac{n!}{n^n} e^n$ . Para cualquier $x > 0$ , MVT nos dice

$$\log(1+x) = \frac{x}{1+y} < x\quad\text{ for some } y \in (0,x)$$

Esto implica que para cualquier $n \ge 1$ tenemos

$$\log(1+\frac{1}{n}) < \frac{1}{n}\quad\implies\quad (1+\frac{1}{n})^n < e$$

Como resultado,

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)n^n}{(n+1)^{n+1}} e = \frac{e}{(1+\frac{1}{n})^n} > 1 \quad\implies\quad a_n > a_1, \forall n > 1 $$

Esto implica la secuencia $a_n$ está acotado fuera de $0$ y por lo tanto la serie $\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\;$ diverge.

Answer 2

Sugerencia: Utilice La aproximación de Stirling para obtener la asintótica de $n!$