Estoy tratando de encontrar los enteros$x,y$ para que$\dfrac{x+y+2}{xy-1}$ sea un entero. Lo que he hecho: supongo que existe$t$ tal que$$t=\dfrac{x+y+2}{xy-1}$$ where $ xy \ neq 1 $ luego considere los siguientes escenarios:$$x=y$$ $$x>y>0$$ $$x>0>y$ $, etc. Este enfoque me ayuda a encontrar las soluciones, pero es muy largo. ¿Algún método más simple?
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peter.petrov
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2004
Si$x>3$ y$y>3$, entonces el denominador es más grande que el nominador porque:
$xy-1-x-y-2 = (x-1)(y-1) - 4 > 2 \cdot 2 - 4 = 0 $
Así que el número dado no puede ser un número entero.
Puedes mirar los otros casos manualmente:
$0 \le x \le 3$ y$0 \le y \le 3$.
Si permites x, y negativas, entonces puedes aplicar observaciones similares, solo el denominador cambia ligeramente. Piénsalo.
Hagen von Eitzen
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171160
Wlog $|x|\le |y|$.
$x=0$ conduce a $\frac{y+2}{-1}$, que es siempre un número entero.
$x=1$ conduce a $\frac{y+3}{y-1}=1+\frac4{y-1}$ que es un entero iff $y-1$ es un (positivo o negativo) divisor de $4$, por lo que $y\in\{-3,-1,2,3,5\}$ ($y=0$ se excluye por $|y|\ge |x|$)
$x=-1$ conduce a $\frac{y+1}{-y-1}=-1$, siempre un número entero
$|x|\ge2$ conduce a $|xy-1|\ge 2|y|-1\ge 3$$|x+y+2|\le 2|y|+2$, por lo que el $\left|\frac{x+y+2}{xy-1}\right|\le\frac{2|y|+2}{2|y|-1}=1+\frac{3}{2|y|-1}\le 2$ con la igualdad sólo para $|x|=|y|=2$. Tan sólo tenemos que comprobar en el caso especial $|x|=|y|=2$ e lo contrario, si el cociente puede ser $-1$ o $0$ o $1$.
- $(2,2)$ conduce a un cociente de $2$; $(2,-2)$ y $(-2,2)$ de plomo a $-\frac 25$; $(-2,-2)$ conduce a $-\frac 23$
- El cociente es $0$ fib $y=-x-2$.
- El cociente es $1$ fib $x+y+2=xy-1$, es decir, $(x-1)(y-1)=4$; un número finito de factorizations nos dan un número finito de soluciones de $x=y=3$ o $x=2,y=5$ (todo lo demás es excluir por $|y|\ge |x|\ge 2$)
- El cociente es $-1$ fib $x+y+2=1-xy$, es decir, $(x+1)(y+1)=0$ - contradiciendo $|y|\ge|x|\ge 2$.
Así que en resumen, como soluciones de $(x,y;\frac{x+y+2}{xy-1})$ tenemos a las familias $$ (0,t;-t-2), (t,0;-t-2), (-1,t;-1),(t,-1;-1),(t,-2-t;0)$$ y las soluciones especiales $$(1,2;5),(2,1;5),(1,3;3),(3,1;3),(1,5;2),(5,1;2),(2,2;2),(3,3;1),(2,5;1),(5,2;1).$$
justartem
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13
Para que esto suceda necesitamos $|x+y+2|\geq |xy-1|$ o $x+y+2=0$.
Si $x+y+2=0$ obtenemos soluciones de $(a,-a-2),(-a-2,a)$.
por otra parte tenemos a $|x+y|+2\geq |xy|-1\rightarrow |x|+|y|+3\geq |x||y|$.
Observe que si $x$ o $y$ $0$ tiene trivialmente.
Ahora nos encontramos con todos los posibles valores de $n,m> 0$, de modo que $n+m+3\geq nm\iff \frac{n+3}{n-1}\geq m$
Si $n=1$ cualquier $m$ obras.
Si $n=2$ obtenemos $m\leq 5$
Si $n=3$ obtenemos $m \leq 3$
Si $n=4$ obtenemos $m\leq 2$
Si $n=5$ obtenemos $m\leq 2$.
Si $n\geq 6$ obtenemos $m=1$.
Así que en primer lugar analizamos el caso al $|x|=1$.
Si $x=1$ obtenemos $y-1$ divide $y+3$, lo $y-1$ divide $(y+3)-(y-1)=4$, por lo tanto $y-1$ $-4,-2,-1,1,2$ o $4$. Es fácil ver a todos ellos el trabajo. Así, obtenemos $(1,-3),(1,-1),(1,0),(1,2),(1,3),(1,5)$.
Si $x=-1$ obtenemos $-(y-1)$ divide $y-1$. Por lo $y+1$ divide $y-1$ y, por tanto, $y+1$ divide $y+1-(y-1)=2$. Por lo $y+1$$-2,-1,1,2$. Es fácil ver a todos ellos el trabajo. Así, obtenemos $(-1,-3),(-1,-2),(-1,0),(-1,1)$.
Desde $x$ $y$ jugar simétrica roles en la ecuación, esto le da todas las soluciones con $|x|=1$ o $|y|=1$.
Ahora vamos a analizar al $|x|=2$.
Si $x=2$ obtenemos $2y-1$ divide $y+4$, sólo tenemos que tratar con $y=-5,-4,-3,-2,0,2,3,4,5$. Sólo vemos a $(2,-4),(2,0),(2,2),(2,5)$ trabajo.
Si $x=-2$ obtenemos $-2y-1$ divide $y$, lo $2y+1$ divide $y$, y por lo $2y+1$ divide $2y+1-2(y)=1$. Tan solo tratamos con $2y+1=1$$2y+1=-1$. Por lo $(-1,-1)$ $(-1,1)$ son soluciones.
Tan solo necesitamos comprobar al $|x|,|y|>2$.
Si $|x|=3$ sólo tenemos que comprobar si $|y|=3$. Hay cuatro casos, y de estos sólo $(3,3)$ obras.
Este acabados en todos los casos.
(Voy a tratar de hacer de esto un poco más claro cuando llegue a casa).
Si $x=y=-1$,$x+y+2=xy-1=0$. Por lo tanto, algunas de las soluciones a continuación deben ser precedidos por "excepción de $x=y=-1$".
Si $x=y$,$\frac{x+y+2}{xy-1}=\frac{2}{x-1}$, que dice que $$ x=y\in\{0,2,3\}\quad\text{son las únicas soluciones con $x=y$}\etiqueta{1} $$ Además, $$ x+y=-2\quad\text{es una solución}\etiqueta{2} $$ También tenemos que $$ xy=0\quad\text{es una solución}\etiqueta{3} $$ Si $x=-1$ o $y=-1$, $\frac{x+y+2}{xy-1}=-1$. Por lo tanto, $$ (x+1)(y+1)=0\quad\text{es una solución}\etiqueta{4} $$ Si $y=1$, entonces las soluciones a $\frac{x+y+2}{xy-1}=\frac{x+3}{x-1}\in\mathbb{Z}$ han $-3\le x\le5$. Comprobación da $$ \{(-3,1),(-1,1),(0,1),(2,1),(3,1),(5,1)\}\la etiqueta{5} $$ Si $x=1$, entonces las soluciones a $\frac{x+y+2}{xy-1}=\frac{y+3}{y-1}\in\mathbb{Z}$ han $-3\le y\le5$. Comprobación da$$ \{(1,-3),(1,-1),(1,0),(1,2),(1,3),(1,5)\}\la etiqueta{6} $$ Desde $$ |xy-1|-|x+y+2|\ge(|x|-1)(|y|-1)-4\etiqueta{7} $$ si $x+y\ne-2$$(|x|-1)(|y|-1)\ge5$, $(x,y)$ no puede ser una solución. Puesto que todas las soluciones con $|x|\le1$ o $|y|\le1$ están cubiertos de arriba, solo necesitamos comprobar $2\le|x|,|y|\le5$. La comprobación de estos $64$ de los casos, la única nuevas soluciones no se cuentan de arriba son $$ \{(2,5),(5,2)\}\la etiqueta{8} $$ Por lo tanto, todas las soluciones están dadas por $(1)$-$(6)$ y $(8)$.
